Esercizio 47differenze di radici e razionalizzazione

Testo (Lezione 17, esercizi 1, 2 e 5 del foglio nuovo sui limiti di successioni). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \left(\sqrt{2n^2 + 4} - \sqrt{n^2 - 1}\right)$
2. $\displaystyle\lim_n \left(\sqrt{n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + 3}\right)$
3. $\displaystyle\lim_n \left(\sqrt[3]{n + 4} - \sqrt[3]{n + 1}\right)$

Tutti e tre sono forme $+\infty - \infty$ con due radici. Il punto dell'esercizio è capire quando basta raccogliere e quando serve la razionalizzazione (teoria: Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →, paragrafo 8).

La domanda da farsi sempre: i due termini sono asintotici?

Prima di fare conti si confrontano i due termini con l'asintoticitàa_n ~ b_n se il rapporto a_n/b_n tende a 1; equivale a scrivere a_n = b_n + o(b_n).Asintoticità e o-piccolo →:

• se hanno lo stesso ordine ma coefficienti diversi ($\sqrt2\,n$ contro $n$), la differenza ha ancora ordine $n$ e si conclude raccogliendo;
• se sono asintotici ($n$ contro $n$), i termini principali si cancellano e quello che resta è "nascosto" negli o-piccoli: serve un artificio.

1. $\lim_n \left(\sqrt{2n^2 + 4} - \sqrt{n^2 - 1}\right)$

Il confronto

• Sotto la prima radice: $2n^2 + 4 = 2n^2 + o(n^2) \sim 2n^2$. Poiché le potenze conservano l'asintoticitàSe a_n ~ b_n allora a_n^α ~ b_n^α: il rapporto delle potenze è la potenza del rapporto, che tende a 1.Asintoticità e o-piccolo → e la radice quadrata è la potenza $\frac12$: $\sqrt{2n^2 + 4} \sim \sqrt{2n^2} = \sqrt2\,n$, cioè $\sqrt{2n^2 + 4} = \sqrt2\,n + o(n)$.
• Allo stesso modo $n^2 - 1 \sim n^2$, quindi $\sqrt{n^2 - 1} \sim n$, cioè $\sqrt{n^2 - 1} = n + o(n)$.

I due termini hanno lo stesso ordine ($n$) ma non sono asintotici: il rapporto tende a $\sqrt2 \ne 1$. Si può raccogliere.

Metodo 1: raccogliere uno dei due termini

$$L = \lim_n \sqrt{2n^2 + 4}\left(1 - \frac{\sqrt{n^2 - 1}}{\sqrt{2n^2 + 4}}\right) = \lim_n \sqrt{2n^2 + 4}\left(1 - \sqrt{\frac{n^2 - 1}{2n^2 + 4}}\right)$$

• $\sqrt{2n^2 + 4} \to +\infty$;
• $\frac{n^2 - 1}{2n^2 + 4} \sim \frac{n^2}{2n^2} = \frac12$, quindi la radice tende a $\frac{1}{\sqrt2}$ e la parentesi a $1 - \frac{1}{\sqrt2} \approx 0{,}29 > 0$.

Risultato: $(+\infty) \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt2}\right) = +\infty$ (un infinito per un numero positivo).

Metodo 2: con gli o-piccoli

$$L = \lim_n \left(\sqrt2\,n + o(n) - n - o(n)\right) = \lim_n \left((\sqrt2 - 1)n + o(n)\right) = +\infty$$

Due regole usate:

• $o(n) - o(n) = o(n)$: la differenza di due successioni trascurabili rispetto ad $n$ è ancora trascurabile rispetto ad $n$ (ma non è $0$, perché i due $o(n)$ sono in generale successioni diverse);
• $(\sqrt2 - 1)n + o(n) \sim (\sqrt2 - 1)n$ per il principio di sostituzioneIn una somma si può trascurare un termine che è o-piccolo di un altro: a_n + o(a_n) è asintotico ad a_n., e $(\sqrt2 - 1) > 0$, quindi il limite è $+\infty$.

Verifica numerica. $n = 100$: $\approx 41{,}44$; $n = 10\,000$: $\approx 4142{,}1 \approx (\sqrt2 - 1) \cdot 10\,000$ ✓.

2. $\lim_n \left(\sqrt{n^2 + n + 1} - \sqrt{n^2 + 3}\right)$

Il confronto

• $n^2 + n + 1 = n^2 + o(n^2) \sim n^2$ (gerarchia: $n = o(n^2)$), quindi $\sqrt{n^2 + n + 1} \sim n$;
• $n^2 + 3 \sim n^2$, quindi $\sqrt{n^2 + 3} \sim n$.

Adesso i due termini sono asintotici. Vediamo che cosa succede provando i due metodi di prima.

Raccogliere non basta

$$\lim_n \sqrt{n^2 + 3}\left(\sqrt{\frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3}} - 1\right)$$

Il primo fattore tende a $+\infty$, la parentesi a $\sqrt1 - 1 = 0$: forma $+\infty \cdot 0$, ancora indeterminata.

Gli o-piccoli non bastano

$$\lim_n \left(n + o(n) - n - o(n)\right) = \lim_n o(n)$$

Scrivere "$= \lim_n (n - n) = 0$" è un errore (la prof lo segna in rosso): i due $o(n)$ non si cancellano, e un $o(n)$ può fare qualunque cosa (tendere a $0$, a un numero, a $+\infty$ come $\sqrt n$...). Il risultato "$\lim o(n)$" non dice nulla.

L'artificio: la razionalizzazione

Si usa il prodotto notevole $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, cioè si moltiplica e si divide per la somma delle due radici:

$$a - b = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{a + b}$$

Perché funziona: elevando al quadrato le radici spariscono, e i termini $n^2$ (quelli che rendevano i due addendi asintotici) si cancellano esattamente, non solo "asintoticamente". Il denominatore $a + b$ è una somma di termini positivi: lì non c'è nessuna forma indeterminata.

Con $a = \sqrt{n^2 + n + 1}$ e $b = \sqrt{n^2 + 3}$:

$$L = \lim_n \frac{(n^2 + n + 1) - (n^2 + 3)}{\sqrt{n^2 + n + 1} + \sqrt{n^2 + 3}} = \lim_n \frac{n - 2}{\sqrt{n^2 + n + 1} + \sqrt{n^2 + 3}}$$

• Numeratore: $n - 2 \sim n$.
• Denominatore: $n + o(n) + n + o(n) = 2n + o(n) \sim 2n$. Qui la somma degli o-piccoli non dà problemi, perché i termini principali si sommano ($n + n = 2n$) invece di cancellarsi.

$$L = \lim_n \frac{n}{2n} = \frac12$$

Verifica numerica. $n = 100$: $\approx 0{,}4887$; $n = 10\,000$: $\approx 0{,}49989$ ✓.

3. $\lim_n \left(\sqrt[3]{n + 4} - \sqrt[3]{n + 1}\right)$

Il confronto

$\sqrt[3]{n + 4} \sim \sqrt[3]{n} = n^{1/3}$ e $\sqrt[3]{n + 1} \sim n^{1/3}$: di nuovo asintotici. Serve un artificio.

La razionalizzazione per le radici cubiche

Con le radici cubiche il prodotto notevole giusto è quello della differenza di cubi:

$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \qquad \Rightarrow \qquad a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$$

(Si verifica moltiplicando: $a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.) Elevando al cubo le radici cubiche spariscono.

Con $a = (n + 4)^{1/3}$ e $b = (n + 1)^{1/3}$:

$$L = \lim_n \frac{(n + 4) - (n + 1)}{(n + 4)^{2/3} + (n + 4)^{1/3}(n + 1)^{1/3} + (n + 1)^{2/3}} = \lim_n \frac{3}{(n + 4)^{2/3} + (n + 4)^{1/3}(n + 1)^{1/3} + (n + 1)^{2/3}}$$

Il numeratore è il numero $3$; il denominatore è una somma di tre termini positivi che tendono tutti a $+\infty$ (ognuno è $\sim n^{2/3}$, e il denominatore è $\sim 3n^{2/3}$). Quindi

$$L = \frac{3}{+\infty} = 0$$

Verifica numerica. $n = 100$: $\approx 0{,}0457$; $n = 10\,000$: $\approx 0{,}00215$, e infatti $\frac{3}{3n^{2/3}} = n^{-2/3} \approx 0{,}00215$ ✓.

Riepilogo

Errori comuni

• Cancellare gli o-piccoli: $o(n) - o(n)$ non è $0$.
• Razionalizzare quando non serve: nel primo limite funziona anche, ma è più lungo; prima si guarda se i termini sono asintotici.
• Moltiplicare per $a + b$ con le radici cubiche: non elimina le radici ($a^2 - b^2$ contiene ancora potenze $\frac23$); serve $a^2 + ab + b^2$.