Lezione 24Valori intermedi, continuità dell'inversa e Weierstrass

Data: venerdì 7 novembre 2025 · Videolezione: n. 26 della playlist ("Lezione 24", 1h37)

Argomenti trattati

1. Teorema dei valori intermedi (dimostrato dal teorema degli zeri): una funzione continua manda intervalli in intervalli; il metodo grafico per le equazioni $f(x) = a$.
2. Continuità e monotonia: una funzione monotona ha al più salti, ed è continua se e solo se la sua immagine è un intervallo (continuità di $a^x$).
3. Continuità della funzione inversa: per le funzioni continue su un intervallo, invertibile equivale a strettamente monotona, e l'inversa è continua (continuità di $\log_a$ e delle altre inverse elementari).
4. Teorema di Weierstrass (massimo e minimo su $[a, b]$) e controesempi. Fine del capitolo 3.
5. Esercizi di ricapitolazione sui limiti (13, 15, 16, 17 del foglio).

Teoria

• Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → — dal teorema dei valori intermedi in poi
• Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo → — usata negli esercizi
• Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → — usati negli esercizi

Esercizi

• Esercizio 67 · quante soluzioni ha arctan x + tanh x = a — esempio sul metodo grafico
• Esercizio 68 · limite in 1⁻ con 3¹/(x-1)), radici e log¹/3) x — esercizio 13
• Esercizio 69 · ordine di infinitesimo di log((2n²-4n+1)/(2n²+cos 3n)) — esercizio 15
• Esercizio 70 · limiti con arcsin((n²-1)/(n²+1)) e con e^sin(1/n²) - cos(1/n) — esercizi 16 e 17