Esercizio 138funzioni razionali con denominatore di grado 1 e 2

Testo (Lezione 39, esercizi 12, 13, 14). Calcolare

$$12. \ \int \frac{\sqrt5}{3x - 1}\,dx \qquad\qquad 13. \ \int \frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2}\,dx \qquad\qquad 14. \ \int \frac{2x - 1}{4x^2 + 4x + 1}\,dx$$

Sono funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali → con grado del numeratore minore di quello del denominatore.

12. Denominatore di grado 1

Sostituzione $y = 3x - 1$, $dy = 3\,dx$, quindi $dx = \frac13\,dy$: $$\int \frac{\sqrt5}{3x - 1}\,dx = \frac{\sqrt5}{3}\int\frac{dy}{y} = \frac{\sqrt5}{3}\log|y| + k = \frac{\sqrt5}{3}\log|3x - 1| + k$$

13. Denominatore di grado 2 con $\Delta > 0$

Radici del denominatore. $\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 2\cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$, $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$, cioè $x_1 = 2$, $x_2 = \frac12$. Quindi $$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)\left(x - \tfrac12\right)$$ (il fattore $2$ davanti è il coefficiente di $x^2$: senza, il prodotto avrebbe $x^2$ con coefficiente $1$).

Fratti semplici. $$\frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2} = \frac12\cdot\frac{2x + 1}{(x - 2)(x - \frac12)} = \frac12\left[\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - \frac12}\right]$$ Denominatore comune: $$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - \frac12} = \frac{A\left(x - \frac12\right) + B(x - 2)}{(x - 2)(x - \frac12)} = \frac{(A + B)\,x - \frac12 A - 2B}{(x - 2)(x - \frac12)}$$ Per il principio di identità dei polinomi, il numeratore deve coincidere con $2x + 1$: $$\begin{cases} A + B = 2 & (\text{coefficienti di } x) \\ -\frac12 A - 2B = 1 & (\text{termini noti}) \end{cases}$$ Dalla prima $B = 2 - A$; nella seconda $-\frac12 A - 4 + 2A = 1$, cioè $\frac32 A = 5$: $A = \frac{10}{3}$, $B = 2 - \frac{10}{3} = -\frac43$.

Controllo rapido (vale per ogni $x$): in $x = 2$ il numeratore $A(x - \frac12) + B(x - 2)$ vale $\frac32 A = 5 = 2\cdot 2 + 1$ ✓.

Integrale. $$\int \frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2}\,dx = \frac12\left[\frac{10}{3}\int\frac{dx}{x - 2} - \frac43\int\frac{dx}{x - \frac12}\right] = \frac53\log|x - 2| - \frac23\log\left|x - \tfrac12\right| + k$$

14. Denominatore di grado 2 con $\Delta = 0$

$\frac\Delta4 = 2^2 - 4\cdot 1 = 0$: il denominatore è un quadrato perfetto, $$4x^2 + 4x + 1 = 4\left(x^2 + x + \tfrac14\right) = 4\left(x + \tfrac12\right)^2$$ Sostituzione $y = x + \frac12$ (cioè $x = y - \frac12$), $dy = dx$: $$\int \frac{2x - 1}{4\left(x + \frac12\right)^2}\,dx = \frac14\int\frac{2\left(y - \frac12\right) - 1}{y^2}\,dy = \frac14\int\frac{2y - 2}{y^2}\,dy = \frac14\int\left[\frac2y - \frac{2}{y^2}\right] dy$$ $$= \frac12\int\frac{dy}{y} - \frac12\int y^{-2}\,dy = \frac12\log|y| - \frac12\cdot\frac{y^{-1}}{-1} + k = \frac12\log|y| + \frac{1}{2y} + k$$ Tornando a $x$: $$\int \frac{2x - 1}{4x^2 + 4x + 1}\,dx = \frac12\log\left|x + \tfrac12\right| + \frac{1}{2\left(x + \frac12\right)} + k = \frac12\log\left|x + \tfrac12\right| + \frac{1}{2x + 1} + k$$

(Risultati di 13 e 14 verificati derivando con Python.)

Errori comuni

• In 13, dimenticare il fattore $\frac12$ che viene dal coefficiente $2$ di $x^2$.
• In 14, cercare una scomposizione $\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}$ con $x_1 = x_2$: non ha senso; con $\Delta = 0$ si sostituisce $y = x - x_1$.