Esercizio 123serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n)

Testo (Lezione 36, esempio proposto e risolto a fine lezione). Studiare convergenza assoluta e semplice della serie

$$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2^{\alpha\log n}\,\log^7(n^3)} \qquad \text{per } \alpha \in \mathbb{R}$$

($\log$ è il logaritmo naturale.)

Passo 1: il segno nascosto in $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$

I valori di $\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)$ si ripetono con periodo $4$:

• per $n$ pari vale $0$: quegli addendi non contano;
• per $n$ dispari, $n = 2k + 1$, vale $(-1)^k$ (con $k = 0$: $1$; $k = 1$: $-1$; $k = 2$: $1$; …).

Quindi nella serie restano solo gli indici dispari $n = 3, 5, 7, \dots$, cioè $n = 2k + 1$ con $k \ge 1$ (si parte da $n = 2$, e il primo dispari è $3$): $$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{2^{\alpha\log n}\log^7(n^3)} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2^{\alpha\log(2k+1)}\log^7\big((2k+1)^3\big)}$$ Togliere gli addendi nulli non cambia le somme parziali (le salta soltanto), quindi non cambia il carattere.

Passo 2: semplificare l'addendo

• La potenza di 2. Ogni potenza si scrive in base $e$: $2^{t} = e^{t\log 2}$. Quindi $$2^{\alpha\log(2k+1)} = e^{\alpha\log 2 \cdot \log(2k+1)} = \left(e^{\log(2k+1)}\right)^{\alpha\log 2} = (2k+1)^{\alpha\log 2}$$ È una potenza di $2k+1$ con esponente $\alpha\log 2$ (non un'esponenziale in $k$!).
• Il logaritmo. $\log\big((2k+1)^3\big) = 3\log(2k+1)$, quindi $\log^7\big((2k+1)^3\big) = 3^7\log^7(2k+1)$.

La serie è $$\sum_{k=1}^{+\infty} (-1)^k a_k, \qquad a_k = \frac{1}{(2k+1)^{\alpha\log 2} \cdot 3^7 \cdot \log^7(2k+1)} > 0$$ cioè una serie alternata.

Passo 3: convergenza assoluta

$\sum |(-1)^k a_k| = \sum a_k$. Per l'asintotico:

• $2k + 1 = k\left(2 + \frac1k\right) \sim 2k$, quindi $(2k+1)^{\alpha\log 2} \sim (2k)^{\alpha\log 2} = 2^{\alpha\log 2}\,k^{\alpha\log 2}$ (le potenze conservano l'asintoticità);
• $\log(2k+1) = \log k + \log\left(2 + \frac1k\right)$, e $\log\left(2 + \frac1k\right) \to \log 2$ è limitato, quindi $\log(2k+1) = \log k + o(\log k) \sim \log k$.

$$a_k \sim \frac{1}{2^{\alpha\log 2}\cdot 3^7} \cdot \frac{1}{k^{\alpha\log 2}\,\log^7 k}$$

È una serie armonica generalizzata del secondo tipo$\sum \frac{1}{k^p \log^q k}$ converge se e solo se $p > 1$, oppure $p = 1$ e $q > 1$. con $p = \alpha\log 2$ e $q = 7$:

• se $\alpha\log 2 > 1$ converge;
• se $\alpha\log 2 = 1$ converge anche lui, perché l'esponente del logaritmo è $7 > 1$;
• se $\alpha\log 2 < 1$ diverge.

Siccome $\log 2 > 0$, $\alpha\log 2 \ge 1 \iff \alpha \ge \frac{1}{\log 2}$.

Converge assolutamente se e solo se $\alpha \ge \frac{1}{\log 2}$ ($\frac{1}{\log 2} \approx 1{,}44$).

Passo 4: convergenza semplice

$\alpha \ge \frac{1}{\log 2}$: converge (assoluta $\Rightarrow$ semplice).

$\alpha < \frac{1}{\log 2}$: si prova Leibniz.

(1) $a_k \to 0$? $$a_k \sim \frac{1}{2^{\alpha\log 2}\,3^7} \cdot \frac{1}{k^{\alpha\log 2}\log^7 k}$$

• se $\alpha > 0$: il denominatore $k^{\alpha\log 2}\log^7 k \to +\infty$, quindi $a_k \to 0$;
• se $\alpha = 0$: $a_k \sim \frac{1}{3^7\log^7 k} \to 0$;
• se $\alpha < 0$: l'esponente $\alpha\log 2$ è negativo e $\frac{1}{k^{\alpha\log 2}\log^7 k} = \frac{k^{-\alpha\log 2}}{\log^7 k} \to +\infty$ (una potenza positiva di $k$ batte qualunque potenza del logaritmo, per la gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →).

Quindi $a_k \to 0 \iff \alpha \ge 0$. Per $\alpha < 0$ il termine non tende a $0$ e la serie non converge.

(2) Per $0 \le \alpha < \frac{1}{\log 2}$: $a_k$ decrescente? Il denominatore di $a_k$ è il prodotto di

• $(2k+1)^{\alpha\log 2}$: positiva e crescente (esponente $\ge 0$; per $\alpha = 0$ vale costantemente $1$);
• $3^7$: costante positiva;
• $\log^7(2k+1)$: positiva e crescente.

Un prodotto di funzioni positive e crescenti è crescente (vedi Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →, "Come dimostrare la decrescenza"), e il suo reciproco $a_k$ è decrescente ✓.

Per il criterio di LeibnizSe $a_k \ge 0$, $a_k \to 0$ e $a_k$ è definitivamente decrescente, allora $\sum (-1)^k a_k$ converge.Serie a termini di segno variabile → la serie converge semplicemente per $0 \le \alpha < \frac{1}{\log 2}$.

Conclusione

La serie converge semplicemente se e solo se $\alpha \ge 0$, assolutamente se e solo se $\alpha \ge \frac{1}{\log 2}$.

(Nel PDF l'intervallo per Leibniz è scritto "$[0, \log 2[$": è una svista, l'estremo giusto è $\frac{1}{\log 2}$, come risulta dal passo 3.)

Errori comuni

• Scambiare $2^{\alpha\log n}$ per un'esponenziale in $n$: è la potenza $n^{\alpha\log 2}$, quindi va confrontata con le armoniche, non con le geometriche.
• Lasciare $\sin\frac{n\pi}{2}$ così com'è: senza separare pari e dispari non si vede che la serie è alternata (e Leibniz non si può applicare a una serie con infiniti zeri in mezzo nella forma originale).
• Dimenticare il caso $\alpha\log 2 = 1$: lì decide l'esponente del logaritmo, $7 > 1$, e la serie converge.