Esercizio 50dominio e segno di (e^x-5) + x)^√3 - 1

Testo (Lezione 17, esercizio 2 del foglio nuovo sulle funzioni). Determinare dominio e segno di

$$f(x) = \left(e^{x - 5} + x\right)^{\sqrt3} - 1$$

Passo 1: la potenza $X^{\sqrt3}$

Si chiama $X = e^{x - 5} + x$, così $f = X^{\sqrt3} - 1$. L'esponente $\sqrt3$ è irrazionale e positivo, quindi per le potenze con esponente irrazionaleSi definiscono solo per base maggiore o uguale a 0; con esponente positivo lo 0 è ammesso, con esponente negativo no.Funzioni potenza →:

• il dominio è $X \ge 0$ (lo $0$ è ammesso perché l'esponente è positivo: $0^{\sqrt3} = 0$);
• è strettamente crescente (perché $\sqrt3 > 0$) e vale $1$ in $X = 1$.

Passo 2: il dominio

Serve

$$e^{x - 5} + x \ge 0 \iff e^{x - 5} \ge -x$$

Questa disequazione mescola un'esponenziale e un polinomio: non si risolve con passaggi algebrici (non c'è modo di isolare la $x$). Si risolve graficamente, confrontando i grafici di

$$y_1 = e^{x - 5} \qquad \text{e} \qquad y_2 = -x$$

e cercando dove il primo sta sopra il secondo.

• $y_1 = e^{x - 5}$ è il grafico di $e^x$ traslato di $5$ verso destra: sempre positivo, crescente, vale $1$ in $x = 5$ e $e^{-5} \approx 0{,}0067$ in $x = 0$; per $x \to -\infty$ si schiaccia sull'asse $x$.
• $y_2 = -x$ è la bisettrice del secondo e quarto quadrante: positiva per $x < 0$, decrescente.

Per $x \ge 0$ è ovvio: $y_1 > 0 \ge y_2$. Per $x < 0$ la retta $y_2 = -x$ sale verso sinistra, mentre $y_1$ scende verso $0$: le due curve si incontrano in un solo punto $x = c$, con $c < 0$.

Perché c'è un solo punto, e dove sta. La funzione $h(x) = e^{x - 5} + x$ è strettamente crescente (somma di due funzioni strettamente crescenti), quindi si annulla al massimo una volta. Inoltre $h(-1) = e^{-6} - 1 < 0$ e $h(0) = e^{-5} > 0$: lo zero $c$ sta tra $-1$ e $0$. Numericamente $c \approx -0{,}0067$, molto vicino a $0$ (perché $e^{-5}$ è piccolo). La prof non chiede il valore esatto: basta sapere che esiste e che è negativo.

$$\mathrm{dom} f = [c, +\infty[ \qquad \text{con } c < 0 \ (c \approx -0{,}0067)$$

Passo 3: il segno

$$f(x) \ge 0 \iff \left(e^{x - 5} + x\right)^{\sqrt3} \ge 1$$

La potenza $X \mapsto X^{\sqrt3}$ è strettamente crescente, quindi conserva le disuguaglianze; equivalentemente si eleva tutto all'esponente $\frac{1}{\sqrt3}$ (anch'esso crescente) e $1^{1/\sqrt3} = 1$:

$$\left(e^{x - 5} + x\right)^{\sqrt3} \ge 1 \iff e^{x - 5} + x \ge 1 \iff e^{x - 5} \ge 1 - x$$

Di nuovo si confrontano due grafici: $y_1 = e^{x - 5}$ e la retta $y_2 = 1 - x$ (la retta di prima alzata di $1$). Ragionando come sopra con $h(x) = e^{x - 5} + x$, che è strettamente crescente:

• $h(0) = e^{-5} \approx 0{,}0067 < 1$;
• $h(1) = e^{-4} + 1 > 1$.

Quindi esiste un unico $\bar c \in \,]0, 1[$ con $h(\bar c) = 1$ (numericamente $\bar c \approx 0{,}982$), e $h(x) \ge 1 \iff x \ge \bar c$. Conclusione:

$$f(x) \ge 0 \iff x \ge \bar c, \qquad f(x) < 0 \iff c \le x < \bar c$$

con $0 < \bar c < 1$, e $f(x) = 0$ solo in $x = \bar c$.

Verifica numerica. $f(0) = (e^{-5})^{\sqrt3} - 1 \approx -0{,}9998 < 0$; $f(1) = (1 + e^{-4})^{\sqrt3} - 1 \approx 0{,}032 > 0$ ✓.

Il metodo da ricordare

Quando una disequazione mescola funzioni di tipo diverso (esponenziale e polinomio, logaritmo e retta...) non si risolve algebricamente: si portano i due pezzi ai due membri, si disegnano i due grafici e si legge dove uno sta sopra l'altro. Le ascisse dei punti di intersezione si indicano con una lettera ($c$, $\bar c$) e si localizzano tra due numeri usando la monotonia.

Errori comuni

• Mettere $X > 0$ nel dominio invece di $X \ge 0$: con esponente positivo lo $0$ è ammesso.
• Cercare di risolvere $e^{x-5} = -x$ con i logaritmi: $x - 5 = \log(-x)$ non porta da nessuna parte.