Esercizio 54limite con a^x+1) - 4^x-1) al variare di a

Testo (Lezione 19, esercizio 7 del foglio della settimana). Calcolare, al variare di $a > 0$,

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{a^{x+1} - 4^{x-1}}{4^x\log^5 x + \pi^{2x}}$$

Teoria: Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni → (gerarchia degli infiniti per $x \to +\infty$).

Passo 0: scrivere tutto con esponenziali "puliti" $b^x$

Per le proprietà delle potenze:

• $a^{x+1} = a \cdot a^x$;
• $4^{x-1} = 4^x \cdot 4^{-1} = \frac14 \cdot 4^x$;
• $\pi^{2x} = (\pi^2)^x$, con $\pi^2 \approx 9{,}87$.

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{a \cdot a^x - \frac14 \cdot 4^x}{4^x\log^5 x + (\pi^2)^x}$$

Così si vede quali esponenziali si confrontano: tra due esponenziali $b_1^x$ e $b_2^x$ con $1 < b_1 < b_2$, il più grande è quello con la base maggiore, perché $\frac{b_1^x}{b_2^x} = \left(\frac{b_1}{b_2}\right)^x \to 0$ (base minore di $1$).

Passo 1: il numeratore dipende da $a$

Si confrontano $a^x$ e $4^x$: dipende da chi ha la base più grande. Tre casi.

• $0 < a < 4$. $\frac{a^x}{4^x} = \left(\frac a4\right)^x \to 0$, quindi $a^x = o(4^x)$ e $$\text{NUM} = -\frac14 \cdot 4^x + o(4^x) \sim -\frac14 \cdot 4^x$$ (Questo include anche $a \le 1$: se $a = 1$ allora $a^x = 1$, se $a < 1$ allora $a^x \to 0$; in entrambi i casi è trascurabile rispetto a $4^x \to +\infty$.)
• $a = 4$. I due termini sono dello stesso tipo e si sommano: $$\text{NUM} = 4 \cdot 4^x - \frac14 \cdot 4^x = \left(4 - \frac14\right)4^x = \frac{15}{4} \cdot 4^x$$
• $a > 4$. $4^x = o(a^x)$, quindi $$\text{NUM} = a \cdot a^x + o(a^x) \sim a \cdot a^x$$

Passo 2: il denominatore

Si confrontano $4^x\log^5 x$ e $(\pi^2)^x$. Il primo contiene un logaritmo, ma l'esponenziale "vince" comunque. Raccogliendo $(\pi^2)^x$:

$$\text{DEN} = (\pi^2)^x\left[1 + \frac{4^x\log^5 x}{(\pi^2)^x}\right] = (\pi^2)^x\left[1 + \frac{\log^5 x}{\left(\frac{\pi^2}{4}\right)^x}\right]$$

(si è usato $\frac{4^x}{(\pi^2)^x} = \left(\frac{4}{\pi^2}\right)^x$, cioè diviso per $\left(\frac{\pi^2}{4}\right)^x$). La base $\frac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47 > 1$: per la gerarchia, un logaritmo (anche alla quinta) è trascurabile rispetto a un esponenziale di base maggiore di $1$, quindi la frazione tende a $0$ e la parentesi a $1$:

$$\text{DEN} \sim (\pi^2)^x$$

In altre parole: $4^x\log^5 x = o(\pi^{2x})$ per $x \to +\infty$.

Passo 3: conclusione nei tre casi

Si sostituiscono numeratore e denominatore con i loro asintotici (si può, perché è un quoziente).

• $0 < a < 4$: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac14 \cdot 4^x}{(\pi^2)^x} = -\frac14\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4}{\pi^2}\right)^x = 0$$ perché $\frac{4}{\pi^2} \approx 0{,}41 < 1$ (precisamente il limite è $0^-$).
• $a = 4$: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{15}{4} \cdot 4^x}{(\pi^2)^x} = \frac{15}{4}\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4}{\pi^2}\right)^x = 0$$
• $a > 4$: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{a \cdot a^x}{(\pi^2)^x} = a\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{a}{\pi^2}\right)^x$$ e ora conta il confronto tra $a$ e $\pi^2$:
  • $4 < a < \pi^2$: base $\frac{a}{\pi^2} < 1$, il limite è $0$;
  • $a = \pi^2$: base $1$, $1^x = 1$, quindi $L = a \cdot 1 = \pi^2$;
  • $a > \pi^2$: base $> 1$, il limite è $+\infty$.

Risultato

$$L = \begin{cases} 0 & 0 < a < \pi^2 \\ \pi^2 & a = \pi^2 \\ +\infty & a > \pi^2 \end{cases}$$

Verifica numerica. Con $a = \pi^2$ e $x = 50$ il quoziente vale $\approx 9{,}8696 \approx \pi^2$ ✓. Con $a = 9$ (poco meno di $\pi^2$) vale $\approx 1{,}42$ per $x = 20$, $\approx 0{,}089$ per $x = 50$, $\approx 0{,}0009$ per $x = 100$: va a $0$, lentamente perché $\frac{9}{\pi^2} \approx 0{,}91$ è vicino a $1$ ✓. Con $a = 10$: $\approx 13$, $19$, $37$, cresce ✓.

Errori comuni

• Fermarsi ai casi $a < 4$, $a = 4$, $a > 4$: quelli servono per il numeratore; per il risultato finale conta il confronto tra $a$ e $\pi^2$.
• Pensare che $4^x\log^5 x$ possa battere $\pi^{2x}$ "grazie al logaritmo": il logaritmo è trascurabile rispetto a qualunque esponenziale di base $> 1$, anche $\left(\frac{\pi^2}{4}\right)^x$.
• Dimenticare il coefficiente $a$ in $a^{x+1} = a \cdot a^x$: nel caso $a = \pi^2$ è proprio lui il risultato.