Esercizio 58asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo

Testo (Lezione 20, esercizio 1 del foglio nuovo). Determinare, se esiste, l'asintoto obliquo a $+\infty$ di

$$f_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x, \qquad f_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x$$

Teoria: Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, paragrafo "Asintoti obliqui".

Il metodo

$y = mx + q$ è asintoto obliquo a $+\infty$ se e solo se:

1. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$;
2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$, $m \ne 0$;
3. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = q \in \mathbb{R}$.

Si controllano nell'ordine; se uno fallisce, l'asintoto obliquo non c'è.

1. $f_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x$

Punto 1. $\sqrt{x^2 - 1} \to +\infty$ e $3\arctan x \to 3 \cdot \frac{\pi}{2}$ (asintoto orizzontale dell'arcotangente), quindi $f_1(x) \to +\infty + \frac32\pi = +\infty$ ✓.

Punto 2. $\sqrt{x^2 - 1} \sim \sqrt{x^2} = x$ (per $x > 0$, $\sqrt{x^2} = |x| = x$), e $3\arctan x$ è limitato, quindi $o(x)$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + o(x)}{x} = 1 = m \ne 0 \ ✓$$

Punto 3.

$$\lim_{x \to +\infty} \left[f_1(x) - x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right) + 3\arctan x\right]$$

Il primo pezzo è una differenza di termini asintotici ($\sqrt{x^2 - 1} \sim x$): forma $+\infty - \infty$ che si scioglie con la razionalizzazione (moltiplicare e dividere per la somma):

$$\sqrt{x^2 - 1} - x = \frac{(x^2 - 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2 - 1} + x} \to \frac{-1}{+\infty} = 0$$

Quindi

$$q = 0 + 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac32\pi \ ✓$$

Conclusione: $f_1$ ha asintoto obliquo a $+\infty$

$$y = x + \frac32\pi$$

Verifica numerica. $f_1(x) - x$ vale $\approx 4{,}363$ per $x = 10$, $\approx 4{,}7089$ per $x = 1000$, $\approx 4{,}712385$ per $x = 10^6$; $\frac32\pi \approx 4{,}712389$ ✓.

2. $f_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x$

Punto 1. $+\infty + \infty = +\infty$ ✓.

Punto 2. $\log x = o(x)$ per la gerarchia, quindi

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + \log x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + o(x)}{x} = 1 = m \ne 0 \ ✓$$

Punto 3.

$$\lim_{x \to +\infty} \left[f_2(x) - x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\underbrace{\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right)}_{\to 0} + \underbrace{\log x}_{\to +\infty}\right] = +\infty$$

Il limite non è un numero reale: il punto 3 fallisce ✗.

Conclusione: $f_2$ non ha asintoto obliquo a $+\infty$. Però $\frac{f_2(x)}{x} \to 1$: $f_2$ ha crescita lineare a $+\infty$. Esistono quindi funzioni a crescita lineare senza asintoto obliquo: il grafico cresce "con pendenza $1$", ma si allontana da ogni retta $y = x + q$ (la distanza $\log x - (\text{qualcosa} \to 0)$ va all'infinito, lentamente).

Verifica numerica. $f_2(x) - x \approx 2{,}25$ per $x = 10$, $\approx 6{,}91$ per $x = 1000$, $\approx 13{,}8$ per $x = 10^6$: cresce come $\log x$ ✓.

Errori comuni

• Fermarsi al punto 2: $m \ne 0$ non basta, bisogna calcolare anche $q$ e verificare che sia finito.
• Sbagliare il limite di $\sqrt{x^2 - 1} - x$ sostituendo con gli asintotici ($x - x = 0$ è il risultato giusto per caso, ma il ragionamento non è lecito: $o(x) - o(x)$ non è $0$); si razionalizza.
• Dimenticare il contributo dell'arcotangente a $q$: $3\arctan x \to \frac32\pi$, non $0$.