Esercizio 70limiti con arcsin((n²-1)/(n²+1)) e con e^sin(1/n²) - cos(1/n)

Testo (Lezione 24, esercizi 16 e 17 del foglio). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{n^3\arcsin\left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}\right) - n^3\arctan\left(\frac{1}{n^2 - 1}\right) + 6\sin(n!)}{n^{3\log n} - 6^{\log n} - e^{\log^2 n}}$
2. $\displaystyle\lim_n \frac{e^{\sin(1/n^2)} - \cos\frac1n}{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac1n + 1}} - 1}$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

1. Il primo limite

Forma $\frac{\infty}{\infty}$.

Numeratore: la trappola dell'arcoseno

Attenzione: $\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \to 1$, non a $0$. Quindi non è vero che $\arcsin\left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}\right) \sim \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$ (il limite notevole dell'arcoseno vale solo con argomento che tende a $0$).

Il conto giusto: l'arcoseno è continuo, quindi

$$\lim_n \arcsin\left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}\right) = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$$

e una successione che tende a un numero $\ell \ne 0$ è asintotica a $\ell$: $a_n \to \ell \ne 0$ significa $\frac{a_n}{\ell} \to 1$, cioè $a_n \sim \ell$, cioè $a_n = \ell + o(1)$. Qui:

$$\arcsin\left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}\right) = \frac{\pi}{2} + o(1)$$

L'arcotangente invece ha argomento $y = \frac{1}{n^2 - 1} \to 0$, e il limite notevole si applica:

$$\arctan\left(\frac{1}{n^2 - 1}\right) \sim \frac{1}{n^2 - 1} \sim \frac{1}{n^2}, \qquad \text{cioè} \qquad \arctan\left(\frac{1}{n^2 - 1}\right) = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Infine $6\sin(n!)$ è limitato. Mettendo insieme (con $n^3 \cdot o(1) = o(n^3)$ e $n^3 \cdot o\left(\frac{1}{n^2}\right) = o(n)$):

$$\text{NUM} = \frac{\pi}{2}n^3 + o(n^3) - n + o(n) + 6\sin(n!) = \frac{\pi}{2}n^3 + o(n^3) \sim \frac{\pi}{2}n^3$$

Denominatore: forma esponenziale

Tre termini con potenze "strane": si scrive tutto come $e^{(\dots)}$.

• $n^{3\log n} = e^{3\log n \cdot \log n} = e^{3\log^2 n}$;
• $6^{\log n} = e^{\log 6 \cdot \log n}$;
• $e^{\log^2 n}$.

Si confrontano gli esponenti: $3\log^2 n$ è il più grande ($\log 6 \cdot \log n = o(\log^2 n)$, e $\log^2 n < 3\log^2 n$). Raccogliendo $e^{3\log^2 n}$:

$$\text{DEN} = e^{3\log^2 n}\left[1 - e^{\log 6 \cdot \log n - 3\log^2 n} - e^{\log^2 n - 3\log^2 n}\right]$$

Gli esponenti nella parentesi tendono a $-\infty$ ($\log 6 \cdot \log n - 3\log^2 n \to -\infty$, e $-2\log^2 n \to -\infty$), quindi la parentesi tende a $1 - 0 - 0 = 1$:

$$\text{DEN} \sim e^{3\log^2 n}$$

Conclusione

Con $n^3 = e^{3\log n}$:

$$L = \lim_n \frac{\frac{\pi}{2}n^3}{e^{3\log^2 n}} = \frac{\pi}{2}\lim_n e^{3\log n - 3\log^2 n} = \frac{\pi}{2} \cdot e^{-\infty} = 0$$

Verifica numerica. $n = 5$: $\approx 0{,}063$; $n = 10$: $\approx 1{,}7 \cdot 10^{-4}$; $n = 20$: $\approx 2{,}4 \cdot 10^{-8}$ ✓.

2. Il secondo limite

Numeratore: $e^{\sin 0} - \cos 0 = 1 - 1 = 0$; denominatore: $\frac11 - 1 = 0$. Forma $\frac00$.

Numeratore

È una differenza: bisogna usare le forme con l'o-piccolo e vedere che cosa resta.

• $e^{\sin(1/n^2)}$: con $y = \sin\frac{1}{n^2} \to 0$, $e^y = 1 + y + o(y)$. E $\sin\frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Quindi $$e^{\sin(1/n^2)} = 1 + \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ (un $o$ di qualcosa asintotico a $\frac{1}{n^2}$ è un $o\left(\frac{1}{n^2}\right)$).
• $\cos\frac1n$: con $y = \frac1n \to 0$, $\cos y = 1 - \frac12 y^2 + o(y^2)$, quindi $$\cos\frac1n = 1 - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Sottraendo, gli $1$ si cancellano ma i termini in $\frac{1}{n^2}$ no:

$$\text{NUM} = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac32 \cdot \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{3}{2n^2}$$

Denominatore

$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac1n + 1}} - 1 = \left(1 + \frac1n\right)^{-1/3} - 1$. Dal limite notevole $(1 + y)^\alpha - 1 \sim \alpha y$ con $y = \frac1n$ e $\alpha = -\frac13$:

$$\text{DEN} \sim -\frac13 \cdot \frac1n$$

Conclusione

$$L = \lim_n \frac{\frac{3}{2n^2}}{-\frac{1}{3n}} = \lim_n \left(-\frac{9}{2n}\right) = 0$$

Verifica numerica. $n = 100$: $\approx -0{,}0453$ (contro $-\frac{9}{2n} = -0{,}045$); $n = 1000$: $\approx -0{,}004503$ ✓.

Errori comuni

• $\arcsin(b_n) \sim b_n$ con $b_n \to 1$: il limite notevole richiede argomento che tende a $0$.
• Fermarsi al primo ordine nel numeratore del secondo limite: con $e^{\sin(1/n^2)} \sim 1$ e $\cos\frac1n \sim 1$ si otterrebbe "$1 - 1$", che non dice nulla; servono i termini in $\frac{1}{n^2}$.
• Confrontare $n^{3\log n}$ con $n^3$ come se fosse una potenza: l'esponente $3\log n$ cresce, quindi è molto più grande di ogni potenza fissa.