Esercizio 155arctan x su x^a(1+x)^2a e una forma 1^∞

Testo (Lezione 44, esercizi 12 e 13 del foglio di ricapitolazione). 12. Determinare per quali $a \in \mathbb{R}$ esiste finito $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x\arctan x}{x^a(1 + x)^{2a}}\,dx$. Calcolare l'integrale per $a = 1$. 13. Discutere la convergenza di $\displaystyle\int_1^{+\infty}\left[\left(\frac{2 + x^4}{x^4}\right)^{x^2} - 1\right] x^a\,dx$ per ogni $a \in \mathbb{R}$.

12.

Convergenza

$f(x) = \frac{x\arctan x}{x^a(1 + x)^{2a}}$ è positiva e continua per $x \ge 1$; il problema è $+\infty$. Per $x \to +\infty$: $\arctan x \to \frac\pi2$ e $(1 + x)^{2a} \sim x^{2a}$, quindi $$f(x) \sim \frac{\frac\pi2\,x}{x^a\cdot x^{2a}} = \frac\pi2\cdot\frac{1}{x^{3a - 1}}$$ Per il confronto asintotico (vedi Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →) converge se e solo se $3a - 1 > 1$, cioè $a > \frac23$.

Calcolo per $a = 1$

$$I = \int_1^{+\infty}\frac{x\arctan x}{x(1 + x)^2}\,dx = \int_1^{+\infty}\frac{\arctan x}{(1 + x)^2}\,dx$$ Passo 1: primitiva, per parti. Si deriva $\arctan x$ e si integra $\frac{1}{(1 + x)^2}$, la cui primitiva è $-\frac{1}{1 + x}$ (con $y = x + 1$, $\int y^{-2}dy = -\frac1y$): $$\int\frac{\arctan x}{(1 + x)^2}\,dx = -\frac{\arctan x}{1 + x} + \int\frac{1}{1 + x}\cdot\frac{1}{1 + x^2}\,dx$$ L'integrale rimasto è razionale: fratti semplici (fattori $1 + x$ e $1 + x^2$ con $\Delta < 0$): $$\frac{1}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac{A}{1 + x} + \frac{Bx + C}{1 + x^2} = \frac{(A + B)\,x^2 + (B + C)\,x + (A + C)}{(1 + x)(1 + x^2)}$$ $$\begin{cases} A + B = 0 \\ B + C = 0 \\ A + C = 1 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad B = -A,\ C = A,\ 2A = 1: \quad A = \frac12,\ B = -\frac12,\ C = \frac12$$ $$\int\frac{dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = \frac12\int\frac{dx}{1 + x} - \frac12\int\frac{x - 1}{1 + x^2}\,dx = \frac12\left[\log|1 + x| - \frac12\log(1 + x^2) + \arctan x\right]$$ Per l'integrale fino a $+\infty$ conviene unire i logaritmi ($\log|1+x| - \frac12\log(1+x^2) = \log\frac{|1 + x|}{\sqrt{1 + x^2}}$; e $|1 + x| = 1 + x$ per $x \ge 1$). Una primitiva è $$G(x) = -\frac{\arctan x}{1 + x} + \frac12\log\frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac12\arctan x$$

Passo 2 e 3. Per $x \to +\infty$: $\frac{\arctan x}{1 + x} \to 0$; $\frac{1 + x}{\sqrt{1 + x^2}} \to 1$ e il suo logaritmo $\to 0$; $\frac12\arctan x \to \frac\pi4$. Quindi $G(x) \to \frac\pi4$. In $x = 1$: $$G(1) = -\frac{\pi/4}{2} + \frac12\log\frac{2}{\sqrt2} + \frac12\cdot\frac\pi4 = \frac12\log\sqrt2 = \frac14\log 2$$ (i due termini con $\frac\pi8$ si cancellano). Quindi $$I = \lim_{x \to +\infty} G(x) - G(1) = \frac\pi4 - \frac14\log 2 \approx 0{,}612$$ (controllato con un'integrazione numerica in Python; nel PDF il termine $-\frac{\arctan x}{1 + x}$ della primitiva è stato perso, e il risultato scritto lì, $\frac\pi4 - \frac12\log\sqrt2 - \frac\pi8$, è sbagliato di $\frac\pi8$).

Perché unire i logaritmi: separatamente $\log(1 + x) \to +\infty$ e $\frac12\log(1 + x^2) \to +\infty$, una forma $\infty - \infty$; uniti danno il logaritmo di un rapporto che tende a $1$.

13.

$f(x) = \left[\left(\frac{2 + x^4}{x^4}\right)^{x^2} - 1\right] x^a$. La base è $> 1$, quindi la potenza è $> 1$ e $f > 0$; $f$ è continua per $x \ge 1$. Il problema è $+\infty$.

Forma esponenziale. $\left(\frac{2 + x^4}{x^4}\right)^{x^2} = e^{y}$ con $$y = x^2\log\frac{2 + x^4}{x^4} = x^2\log\left(1 + \frac{2}{x^4}\right)$$ Per $x \to +\infty$ è una forma $\infty\cdot 0$; ma $\frac{2}{x^4} \to 0$ e $\log(1 + t) \sim t$, quindi $$y \sim x^2\cdot\frac{2}{x^4} = \frac{2}{x^2} \to 0$$ e allora $e^y - 1 \sim y \sim \frac{2}{x^2}$. Quindi $$f(x) \sim \frac{2}{x^2}\cdot x^a = \frac{2}{x^{2 - a}}$$ Converge se e solo se $2 - a > 1$, cioè $a < 1$.

Errori comuni

• In 12, perdere un pezzo della formula per parti ($f \cdot g$ va sempre tenuto).
• In 13, pensare che la base tenda a $1$ e quindi la potenza a $1$: è una forma $1^\infty$, va scritta in forma esponenziale.