Esercizio 52punti di accumulazione

Testo (Lezione 18: i primi due insiemi sono esempi della prof, gli ultimi due sono aggiunti per esercitarsi). Trovare i punti di accumulazione (in $\overline{\mathbb{R}}$) dei seguenti insiemi:

1. $X_1 = [a, b[ \setminus \{c_1, c_2\}$, con $a < c_1 < c_2 < b$
2. $X_2 = \mathbb{N}$
3. $X_3 = \left\{\frac1n : n \in \mathbb{N},\ n \ge 1\right\}$
4. $X_4 = \,]0, 1] \cup \{2\}$

Teoria: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, paragrafo "Punti di accumulazione".

Come si ragiona

$x_0$ è di accumulazione per $X$ se ogni intorno di $x_0$ contiene un punto di $X$ diverso da $x_0$. Quindi:

• per dire che $x_0$ è di accumulazione bisogna mostrare che, per quanto piccolo sia l'intorno, un punto di $X$ (diverso da $x_0$) c'è sempre;
• per dire che non lo è basta trovare un intorno che non contiene punti di $X$ diversi da $x_0$.

Equivalentemente: $x_0$ è di accumulazione se e solo se c'è una successione di punti di $X$, diversi da $x_0$, che tende a $x_0$.

1. $X_1 = [a, b[ \setminus \{c_1, c_2\}$

Ogni $x_0 \in [a, b]$ è di accumulazione. Preso un intorno $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$, la sua parte dentro $[a, b]$ è un intervallo di lunghezza positiva, che contiene infiniti punti; togliendo al massimo tre punti ($x_0$, $c_1$, $c_2$) ne restano ancora infiniti, tutti in $X_1$.

In particolare sono di accumulazione anche:

• $b$, che non sta in $X_1$: i punti $b - \frac1n$ stanno in $X_1$ (per $n$ grande) e tendono a $b$;
• $c_1$ e $c_2$, che sono stati tolti: vicino a loro ci sono comunque punti di $X_1$.

Nessun altro punto lo è. Se $x_0 > b$ (reale), l'intorno di raggio $\delta = x_0 - b$ non tocca $[a, b[$; lo stesso per $x_0 < a$. E $\pm\infty$ non lo sono perché $X_1$ è limitato: l'intorno $]b, +\infty[$ di $+\infty$ non contiene punti di $X_1$.

Risposta: $[a, b]$.

2. $X_2 = \mathbb{N}$

• Un naturale $n_0$ non è di accumulazione: l'intorno $]n_0 - \frac12, n_0 + \frac12[$ contiene solo il naturale $n_0$ (due naturali diversi distano almeno $1$), e $n_0$ va escluso.
• Un reale non naturale $x_0$ non lo è. Se $x_0 > 0$, sta tra due interi consecutivi $[x_0] < x_0 < [x_0] + 1$, e l'intorno di raggio $\delta = \min\{x_0 - [x_0],\ [x_0] + 1 - x_0\}$ (la distanza dall'intero più vicino) non contiene naturali. Se $x_0 < 0$, l'intorno di raggio $\delta = |x_0|$, cioè $]2x_0, 0[$, sta tutto nei negativi e non contiene naturali.
• $-\infty$ non lo è: l'intorno $]-\infty, 0[$ non contiene naturali.
• $+\infty$ lo è: ogni intorno $]M, +\infty[$ contiene naturali, perché per l'Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > M$.

Risposta: solo $+\infty$. È il motivo per cui il limite di una successione si fa solo per $n \to +\infty$.

3. $X_3 = \left\{1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots\right\}$

• $0$ è di accumulazione (anche se $0 \notin X_3$): la successione $x_n = \frac1n$ sta in $X_3$, ha termini diversi da $0$ e tende a $0$. Detto con gli intorni: dato $\delta > 0$, per l'archimedeità esiste $n$ con $\frac1n < \delta$, e $\frac1n \in \,]-\delta, \delta[$.
• I punti $\frac1n$ non lo sono: tra $\frac{1}{n+1}$ e $\frac1n$ non ci sono altri punti di $X_3$, e neanche tra $\frac1n$ e $\frac{1}{n-1}$. L'intorno di $\frac1n$ di raggio uguale alla distanza dal punto più vicino, $\delta = \frac1n - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$, contiene solo $\frac1n$. Si dice che sono punti isolati.
• Gli altri reali non lo sono: se $x_0 < 0$ o $x_0 > 1$ c'è un intorno che non tocca $[0, 1]$; se $x_0 \in \,]0, 1[$ non è della forma $\frac1n$, sta tra due punti consecutivi $\frac{1}{n+1} < x_0 < \frac1n$ e l'intorno di raggio pari alla distanza minore dai due non contiene punti di $X_3$.
• $\pm\infty$ non lo sono: $X_3$ è limitato.

Risposta: solo $0$. Osservazione: qui l'unico punto di accumulazione non appartiene all'insieme, mentre nessun punto dell'insieme è di accumulazione.

4. $X_4 = \,]0, 1] \cup \{2\}$

• Come al punto 1, ogni $x_0 \in [0, 1]$ è di accumulazione (anche $0$, che non sta in $X_4$).
• $2$ non è di accumulazione, pur appartenendo a $X_4$: l'intorno $]1{,}5;\ 2{,}5[$ contiene solo il punto $2$ di $X_4$, che va escluso. È un punto isolato.
• Nessun altro punto lo è.

Risposta: $[0, 1]$.

Conseguenza per i limiti. Per una funzione con dominio $X_4$ ha senso $\lim_{x \to 0} f(x)$ (anche se $f(0)$ non esiste), ma non ha senso $\lim_{x \to 2} f(x)$ (anche se $f(2)$ esiste): vicino a $2$ non ci sono altri punti del dominio a cui avvicinarsi.

Riepilogo

Errori comuni

• Pensare che un punto dell'insieme sia sempre di accumulazione: i punti isolati (come $2$ in $X_4$) non lo sono.
• Pensare che un punto di accumulazione debba stare nell'insieme: $0$ per $X_3$ e $X_4$, $b$ per $X_1$.
• Dimenticare $\pm\infty$: per gli insiemi illimitati vanno controllati.