Derivata - definizione e significato

Lezione 25. Prerequisiti: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →, Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →.

Inizia il capitolo 4, il calcolo differenziale. La derivata misura quanto velocemente cambia una funzione in un punto.

Definizione

Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \,]a, b[$ (punto interno).

1. Il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ è $$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \qquad x \ne x_0$$
2. Se esiste finito il limite $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$ si dice che $f$ è derivabile in $x_0$, e $f'(x_0)$ è la derivata di $f$ in $x_0$.

Il rapporto incrementale è il rapporto tra la variazione della funzione ($\Delta f$) e la variazione della variabile ($\Delta x$): la "pendenza media" tra $x_0$ e $x$. La derivata è la pendenza "istantanea" in $x_0$.

Notazioni equivalenti: $f'(x_0)$, $\dot f(x_0)$, $\frac{df}{dx}(x_0)$, $Df(x_0)$, $\left.\frac{df}{dx}(x)\right|_{x = x_0}$, $\left.Df(x)\right|_{x = x_0}$.

Forma equivalente con l'incremento $h$

Con il cambio di variabile $h = x - x_0$ (cioè $x = x_0 + h$; per $x \to x_0$ si ha $h \to 0$):

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

È la forma più comoda nei calcoli: $h$ è "di quanto ci si sposta da $x_0$".

Esempio numerico. $f(x) = x^2$ in $x_0 = 3$: $\frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h \to 6$. Con $h = 0{,}1$ il rapporto vale $6{,}1$, con $h = 0{,}01$ vale $6{,}01$: $f'(3) = 6$.

Significato fisico

Un punto materiale si muove su una guida rettilinea; $s(t)$ è la sua posizione all'istante $t$.

• $\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0}$ è la velocità media tra gli istanti $t_0$ e $t$;
• $\lim_{t \to t_0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \dot s(t_0)$ è la velocità istantanea all'istante $t_0$.

Significato geometrico: la retta tangente

Se $f$ è derivabile in $x_0$, la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $P_0 = (x_0, f(x_0))$ ha equazione $$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ Quindi $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare (la pendenza) della retta tangente.

Perché. La tangente si definisce come "limite" delle rette secanti: la secante $s_h$ passa per $P_0 = (x_0, f(x_0))$ e per un punto vicino $P_h = (x_0 + h, f(x_0 + h))$. Con la formula della retta per due punti, la sua equazione è

$$y = f(x_0) + \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}(x - x_0)$$

(la pendenza è proprio il rapporto incrementale). Facendo tendere $h \to 0$ (cioè avvicinando $P_h$ a $P_0$), la pendenza tende a $f'(x_0)$ e la secante diventa la retta $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ∎.

Caratterizzazione della derivabilità

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $x_0 \in \,]a, b[$. Sono equivalenti:

1. $f$ è derivabile in $x_0$;
2. esiste un numero $f'(x_0)$ tale che, per $x \to x_0$, $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$$ 2'. (stessa cosa con $h = x - x_0$) per $h \to 0$, $$f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + o(h)$$

Dimostrazione. $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se

$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \iff \lim_{x \to x_0} \left[\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f'(x_0)\right] = 0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)}{x - x_0} = 0$$

e per definizione di o-piccolo l'ultima condizione dice che $f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0) = o(x - x_0)$ ∎.

Il significato: vicino a $x_0$, una funzione derivabile si può approssimare con la sua retta tangente, e l'errore $f(x) - y_{\text{tg}}$ è un $o(x - x_0)$: va a zero più in fretta della distanza da $x_0$.

Esempio: la tangente a $\sin x$ in $0$. Si vedrà che $D\sin x = \cos x$, quindi la tangente in $x_0 = 0$ è $y = \sin 0 + \cos 0 \cdot x = x$. La caratterizzazione dice $\sin x = x + o(x)$ per $x \to 0$: è esattamente il limite notevole $\frac{\sin x}{x} \to 1$. I limiti notevoli sono, in realtà, derivate.

Derivabilità implica continuità

Teorema. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$.

Dimostrazione. Per la caratterizzazione, vicino a $x_0$ si ha $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$. Passando al limite per $x \to x_0$: $f'(x_0)(x - x_0) \to 0$ e $o(x - x_0) \to 0$, quindi $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ ∎.

Il viceversa è falso: continua non implica derivabile. Controesempio: $f(x) = |x|$ è continua in $0$, ma in $0$ il grafico ha uno "spigolo" e non c'è una retta tangente (vedi sotto).

Derivata destra e sinistra

Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $x_0 \in \,]a, b[$.

• Derivata sinistra: $f'(x_0^-) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$;
• derivata destra: $f'(x_0^+) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$.

Dalle proprietà dei limiti destro e sinistro:

$$f \text{ derivabile in } x_0 \iff \exists\, f'(x_0^-) = f'(x_0^+) \in \mathbb{R}, \quad \text{e allora } f'(x_0) = f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$$

Esempio 1: $|x|$ in $0$.

• $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x| - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$ (per $x > 0$, $|x| = x$);
• $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$ (per $x < 0$, $|x| = -x$).

$1 \ne -1$: $|x|$ non è derivabile in $0$, pur essendo continua.

Esempio 2: una funzione con un salto. $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \ge 0 \\ x - 1 & x < 0 \end{cases}$$ Non è continua in $0$ ($f(0^-) = -1 \ne 1 = f(0)$), quindi non può essere derivabile. Infatti, con $f(0) = 1$:

• $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x + 1) - 1}{x} = 1$;
• $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(x - 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 2}{x} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$.

Attenzione: la derivata destra non è sempre il limite della derivata. Nell'esempio 2, $f'(x) = 1$ sia per $x > 0$ sia per $x < 0$, quindi $\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 1$; ma $f'(0^-) = +\infty$. In generale non è vero che $f'(x_0^\pm) = \lim_{x \to x_0^\pm} f'(x)$. Lo è però (lo si vedrà più avanti) se $f$ è continua in $x_0$ e quei limiti esistono.

Classificazione dei punti di non derivabilità

Sia $x_0 \in \,]a, b[$ un punto in cui $f$ è continua ma non derivabile. Si dice che $x_0$ è:

1. un punto angoloso se $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$ esistono finiti ma sono diversi;
2. un punto di flesso a tangente verticale se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+) = +\infty$ oppure $= -\infty$;
3. una cuspide se $f'(x_0^-) = -\infty$ e $f'(x_0^+) = +\infty$, o viceversa.

Esempi (dettagli nell'Esercizio 71 · punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi):

1. $|x|$ in $0$: punto angoloso ($f'(0^-) = -1$, $f'(0^+) = 1$).
2. $\sqrt[3]{x}$ in $0$: flesso a tangente verticale ($f'(0^\pm) = +\infty$). La tangente è la retta verticale $x = 0$.
3. $\sqrt{|x|}$ in $0$: cuspide ($f'(0^-) = -\infty$, $f'(0^+) = +\infty$).

Utile: se $f$ è dispari, $f'$ è pari; se $f$ è pari, $f'$ è dispari (il grafico simmetrico ha pendenze simmetriche). Così basta calcolare la derivata destra in $0$: per $\sqrt[3]{x}$ (dispari) $f'(0^-) = f'(0^+)$, per $\sqrt{|x|}$ (pari) $f'(0^-) = -f'(0^+)$.

Convenzioni del libro, in aggiunta:

• si parla di punto angoloso anche quando una sola delle due derivate è finita e l'altra è $\pm\infty$;
• se $f$ è definita solo per $x \ge x_0$ e $f'(x_0^+) = \pm\infty$ (o solo per $x \le x_0$ e $f'(x_0^-) = \pm\infty$), $x_0$ si dice punto a tangente verticale (esempio: $\sqrt x$ in $0$).

Errori comuni

• Pensare che continua implichi derivabile: $|x|$ è il controesempio.
• Calcolare $f'(x_0^\pm)$ come limite di $f'(x)$ senza controllare la continuità in $x_0$.
• Dimenticare che la derivata deve essere finita: con limite del rapporto incrementale infinito la funzione non è derivabile (anche se la tangente esiste, verticale).

Le regole per calcolare le derivate sono in Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →.