Lezione 21Discontinuità, prolungamento per continuità e limiti notevoli

Data: lunedì 3 novembre 2025 · Videolezione: n. 23 della playlist ("Lezione 21", 1h38)

Argomenti trattati

1. Conseguenze del teorema sul cambio di variabile: il limite "salta dentro" una funzione continua (e dentro $f(\pm\infty)$); la composizione di funzioni continue è continua; la gerarchia degli infiniti si usa anche per $x \to x_0$ finito, cambiando variabile.
2. Classificazione dei punti di discontinuità (in punti interni al dominio): prima specie con salto, seconda specie, eliminabile.
3. Prolungamento per continuità nei punti fuori dal dominio; perché non si parla di discontinuità in punti in cui $f$ non è definita.
4. Limiti alla frontiera nello studio di funzione; esercizio completo con asintoti obliqui e parità.
5. Limiti notevoli, gruppo 1 (enunciati): $\left(1 + \frac1x\right)^x$, $\frac{\log(1+x)}{x}$, $\frac{e^x - 1}{x}$, $\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x}$.

Teoria

• Limite di funzioni composte (cambio di variabile)Se g(x) → y0 e f(y) → ℓ per y → y0, allora f(g(x)) → ℓ, purché g(x) ≠ y0 vicino a x0 (ipotesi inutile se y0 = ±∞ o f è continua in y0): si sostituisce y = g(x).Limite di funzioni composte (cambio di variabile) → — paragrafo "Il limite salta dentro"
• Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità →
• Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → — gruppo 1

Esercizi

• Esercizio 59 · limiti in -1 con e¹/(x+1)) e log⁵ del modulo — esercizio 2
• Esercizio 60 · studio di log(e^modulo di x) - 1) + 3 modulo di x — esercizio 3