Esercizio 150integrali impropri con esponenziale e logaritmo

Testo (Lezione 42, esercizio 4 del foglio). Discutere la convergenza di

$$\int_1^{+\infty} x^4 e^{-3x^2}\,dx, \qquad \int_4^{+\infty}\frac{dx}{\log^4 x}$$

Qui le funzioni non sono asintotiche a una potenza $\frac{1}{x^\alpha}$: si usano i punti (B) e (C) del corollario del confronto asintotico in Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →:

• (B) se $x^\alpha f(x) \to 0$ per qualche $\alpha > 1$, l'integrale converge;
• (C) se $x^\alpha f(x) \to +\infty$ per qualche $\alpha \le 1$, l'integrale diverge.

(a) $\int_1^{+\infty} x^4 e^{-3x^2}\,dx$

$f(x) = x^4 e^{-3x^2} = \frac{x^4}{e^{3x^2}}$ è positiva e continua su $[1, +\infty[$.

Idea: l'esponenziale al denominatore va a $+\infty$ molto più in fretta di qualunque potenza, quindi $f$ va a zero più in fretta di qualunque $\frac{1}{x^\alpha}$. Si verifica (B), per esempio con $\alpha = 2 > 1$ (va bene qualunque $\alpha > 1$): $$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha\cdot\frac{x^4}{e^{3x^2}} = \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{4 + \alpha}}{e^{3x^2}} = 0$$ per la gerarchia degli infinitiPer x che tende a +∞ l'esponenziale cresce più di qualunque potenza: x^β / e^(cx^γ) → 0 per ogni β e c, γ > 0.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →.

Conclusione: l'integrale converge.

(b) $\int_4^{+\infty}\frac{dx}{\log^4 x}$

$f(x) = \frac{1}{\log^4 x}$ è positiva e continua su $[4, +\infty[$ (dove $\log x > 1 > 0$).

Idea: $f \to 0$, ma lentamente: il logaritmo cresce meno di qualunque potenza, quindi $\frac{1}{\log^4 x}$ va a zero più lentamente di qualunque $\frac{1}{x^\alpha}$ con $\alpha > 0$. Si verifica (C), per esempio con $\alpha = 1$: $$\lim_{x \to +\infty} x\cdot\frac{1}{\log^4 x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{x}{\log^4 x} = +\infty$$ (gerarchia degli infiniti: la potenza batte il logaritmo, qualunque sia l'esponente del logaritmo). Anzi il limite è $+\infty$ con qualunque $\alpha > 0$, in particolare con $\alpha \le 1$.

Conclusione: l'integrale diverge (a $+\infty$).

Osservazione: qui $f(x) \to 0$, eppure l'integrale diverge. La condizione $f \to 0$ è necessaria, non sufficiente.

Errori comuni

• In (b), pensare che $\frac{1}{\log^4 x}$ "vada a zero come $\frac{1}{x^4}$": il logaritmo è molto più lento di $x$.
• In (B) usare $\alpha \le 1$, in (C) usare $\alpha > 1$: le due condizioni non direbbero nulla.