Esercizio 63limiti con log(1+1/n², e^-1/n) e arcsin

Testo (Lezione 22, esercizi 8 e 9 del foglio delle lezioni 20-24). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_n \frac{n^4\log\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) - 3n^3 + \arctan(n!)}{\left(e^{-1/n} - 1\right)n^2 + 3e^n}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 3^x\arcsin\left(\frac{4 + \arctan x}{x + 3^x}\right)$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

1. Il limite di successione

Forma $\frac{\infty}{\infty}$ (vedi sotto). I limiti notevoli valgono anche per le successioni: basta che l'argomento tenda a $0$.

Numeratore

Il pezzo delicato è $\log\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)$: l'argomento è $1 + y$ con $y = \frac{1}{n^2} \to 0$. Dal limite notevole $\log(1 + y) = y + o(y)$:

$$\log\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

Moltiplicando per $n^4$ (e usando $n^4 \cdot o\left(\frac{1}{n^2}\right) = o\left(\frac{n^4}{n^2}\right) = o(n^2)$):

$$n^4\log\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) = n^2 + o(n^2)$$

Inoltre $\arctan(n!)$ è limitato (tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$). Quindi

$$\text{NUM} = n^2 + o(n^2) - 3n^3 + \arctan(n!) = -3n^3 + o(n^3) \sim -3n^3$$

(per la gerarchia $n^2 = o(n^3)$, e una quantità limitata è $o(n^3)$).

Denominatore

$e^{-1/n} - 1$: è $e^y - 1$ con $y = -\frac1n \to 0$, quindi $e^y - 1 = y + o(y)$:

$$e^{-1/n} - 1 = -\frac1n + o\left(\frac1n\right) \qquad \Rightarrow \qquad \left(e^{-1/n} - 1\right)n^2 = -n + o(n)$$

e

$$\text{DEN} = -n + o(n) + 3e^n = 3e^n + o(e^n) \sim 3e^n$$

perché $n = o(e^n)$ (gerarchia).

Conclusione

$$L = \lim_n \frac{-3n^3}{3e^n} = -\lim_n \frac{n^3}{e^n} = 0$$

per la gerarchia (potenza contro esponenziale). Precisamente $0^-$.

Verifica numerica. $n = 10$: $\approx -0{,}044$; $n = 20$: $\approx -1{,}6 \cdot 10^{-5}$ ✓.

2. $\lim_{x \to +\infty} 3^x\arcsin\left(\frac{4 + \arctan x}{x + 3^x}\right)$

Si chiamano $F_1 = 3^x \to +\infty$ e $F_2 = \arcsin(f(x))$ con $f(x) = \frac{4 + \arctan x}{x + 3^x}$.

Dove va l'argomento dell'arcoseno

$$f(x) = \frac{4 + \arctan x}{x + 3^x} \to \frac{4 + \frac{\pi}{2}}{+\infty} = 0$$

quindi $F_2 \to \arcsin 0 = 0$: il prodotto è una forma $\infty \cdot 0$.

L'asintoticità dell'arcoseno

L'argomento tende a $0$, quindi dal limite notevole $\arcsin f(x) \sim f(x)$. Ora si semplifica $f(x)$:

• numeratore: $4 + \arctan x \to 4 + \frac{\pi}{2} \ne 0$. Una funzione che tende a un numero $\ell \ne 0$ è asintotica a $\ell$ (perché $\frac{g(x)}{\ell} \to 1$), quindi $4 + \arctan x \sim 4 + \frac{\pi}{2}$;
• denominatore: $x + 3^x \sim 3^x$ (gerarchia: $x = o(3^x)$).

Quindi

$$F_2 \sim f(x) \sim \frac{4 + \frac{\pi}{2}}{3^x}$$

Conclusione

$$L = \lim_{x \to +\infty} 3^x \cdot \frac{4 + \frac{\pi}{2}}{3^x} = 4 + \frac{\pi}{2} \approx 5{,}571$$

Verifica numerica. $x = 10$: $\approx 5{,}470$; $x = 20$: $\approx 5{,}521$. Si avvicina lentamente, perché $\arctan x$ tende a $\frac{\pi}{2}$ lentamente (come $\frac{\pi}{2} - \frac1x$) ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di moltiplicare l'o-piccolo: $n^4 \cdot o\left(\frac{1}{n^2}\right) = o(n^2)$, non $o\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
• Pensare che $\arctan(n!)$ vada all'infinito: va a $\frac{\pi}{2}$, è limitata.
• Sostituire $4 + \arctan x$ con $4$: il limite è $4 + \frac{\pi}{2}$.