Esercizio 141sostituzioni che portano a funzioni razionali

Testo (Lezione 40, esercizi 19-24). Calcolare

$$19. \ \int\frac{dx}{(1 + x^2)\left[\arctan^2 x + 2\arctan x + 3\right]} \qquad 20. \ \int\frac{\cosh x\,\sinh x}{\cosh^2 x + 2\cosh x + 1}\,dx \qquad 21. \ \int\frac{dx}{2^x - 1}$$ $$22.1 \ \int\frac{dx}{\cosh x} \qquad 22.2 \ \int\frac{dx}{\sinh x} \qquad 24. \ \int\frac{dx}{\sin x}$$

In tutti, una sostituzione trasforma l'integrale in quello di una funzione razionale: vedi Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →. Risultati verificati derivando con Python.

19. Sostituzione $y = \arctan x$

Compare $\frac{1}{1 + x^2} = D(\arctan x)$. Con $y = \arctan x$, $dy = \frac{dx}{1 + x^2}$: $$\int\frac{dy}{y^2 + 2y + 3}, \qquad \frac\Delta4 = 1 - 3 < 0$$ Completamento dei quadrati: $y^2 + 2y + 3 = (y + 1)^2 + 2 = 2\left[\left(\frac{y + 1}{\sqrt2}\right)^2 + 1\right]$. Quindi $$\frac12\int\frac{dy}{\left(\frac{y + 1}{\sqrt2}\right)^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt2}\,dy}{\left(\frac{y + 1}{\sqrt2}\right)^2 + 1}$$ ($\frac12 = \frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}$). Con $t = \frac{y + 1}{\sqrt2}$, $dt = \frac{dy}{\sqrt2}$: $$= \frac{1}{\sqrt2}\int\frac{dt}{t^2 + 1} = \frac{1}{\sqrt2}\arctan t + k = \frac{1}{\sqrt2}\arctan\left(\frac{\arctan x + 1}{\sqrt2}\right) + k$$

20. Sostituzione $y = \cosh x$

Compare $\sinh x = D(\cosh x)$. Con $y = \cosh x$, $dy = \sinh x\,dx$: $$\int\frac{y\,dy}{y^2 + 2y + 1} = \int\frac{y}{(y + 1)^2}\,dy \qquad (\Delta = 0)$$ Con $t = y + 1$ ($y = t - 1$, $dt = dy$): $$\int\frac{t - 1}{t^2}\,dt = \int\frac{dt}{t} - \int t^{-2}\,dt = \log|t| + \frac1t + k = \log(\cosh x + 1) + \frac{1}{\cosh x + 1} + k$$ (modulo superfluo: $\cosh x + 1 \ge 2 > 0$).

21. Sostituzione $y = 2^x$

Si moltiplica sopra e sotto per $2^x$, per far comparire $2^x\,dx$: $$\int\frac{dx}{2^x - 1} = \int\frac{2^x\,dx}{2^x(2^x - 1)}$$ Con $y = 2^x$, $dy = 2^x\log 2\,dx$, cioè $2^x\,dx = \frac{dy}{\log 2}$: $$= \frac{1}{\log 2}\int\frac{dy}{y(y - 1)}$$ Fratti semplici (radici $0$ e $1$): $\frac{1}{y(y - 1)} = \frac Ay + \frac{B}{y - 1}$, con $A(y - 1) + By = 1$, cioè $A + B = 0$ e $-A = 1$: $A = -1$, $B = 1$. $$= \frac{1}{\log 2}\left[-\log|y| + \log|y - 1|\right] + k = \frac{1}{\log 2}\log\left|\frac{y - 1}{y}\right| + k = \frac{1}{\log 2}\log\left|\frac{2^x - 1}{2^x}\right| + k$$ (per $x \ne 0$).

22.1 $\int\frac{dx}{\cosh x}$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, quindi $\frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$. Si moltiplica sopra e sotto per $e^x$: $$2\int\frac{e^x\,dx}{e^x(e^x + e^{-x})} = 2\int\frac{e^x\,dx}{e^{2x} + 1}$$ Con $y = e^x$, $dy = e^x\,dx$: $$= 2\int\frac{dy}{y^2 + 1} = 2\arctan y + k = 2\arctan(e^x) + k$$

22.2 $\int\frac{dx}{\sinh x}$ (nel PDF lasciato in sospeso; completato qui)

Stesso metodo, con $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$: $$\int\frac{dx}{\sinh x} = 2\int\frac{dx}{e^x - e^{-x}} = 2\int\frac{e^x\,dx}{e^{2x} - 1} = 2\int\frac{dy}{y^2 - 1} \qquad (y = e^x)$$ Fratti semplici con $y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$: come in 17.2 di Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi, $\frac{1}{y^2 - 1} = \frac12\left[\frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y + 1}\right]$. Quindi $$= \log|y - 1| - \log|y + 1| + k = \log\left|\frac{e^x - 1}{e^x + 1}\right| + k \qquad (x \ne 0)$$

24. $\int\frac{dx}{\sin x}$: sostituzione $t = \tan\frac x2$

Con $t = \tan\frac x2$: $dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt$ e $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$. Quindi $$\int\frac{dx}{\sin x} = \int\frac{1 + t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1 + t^2}\,dt = \int\frac{dt}{t} = \log|t| + k = \log\left|\tan\frac x2\right| + k$$ Tutto si semplifica e resta $\frac1t$.

Errori comuni

• In 21 e 22, dimenticare di trasformare il $dx$: con $y = e^x$ è $dx = \frac{dy}{y}$; per questo si moltiplica prima per $e^x$ (o $2^x$).
• In 19, completare il quadrato in modo sbagliato: $y^2 + 2y + 3 = (y + 1)^2 + 2$, non $(y + 1)^2 + 3$.