Integrazione delle funzioni razionali

Lezioni 39 e 40 (capitolo 6, paragrafo 5). Prerequisiti: Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →. Esercizi: Esercizio 138 · funzioni razionali con denominatore di grado 1 e 2, Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi, Esercizio 140 · fratti semplici con denominatore di grado 3. Molti altri integrali si riconducono a questi con una sostituzione: Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →.

Una funzione razionale è un quoziente di polinomi: $$\int R(x)\,dx = \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx, \qquad P \text{ di grado } m, \quad Q \text{ di grado } n.$$

I metodi che seguono valgono solo se $m < n$ (grado del numeratore minore di quello del denominatore). Si considerano solo i casi $n = 1$ e $n = 2$.

Denominatore di grado 1 ($n = 1$, quindi $m = 0$)

$$I = \int \frac{a_0}{ax + b}\,dx \qquad (a \ne 0)$$ Si sostituisce $y = ax + b$, $dy = a\,dx$, cioè $dx = \frac1a\,dy$: $$I = \frac{a_0}{a}\int \frac{dy}{y} = \frac{a_0}{a}\log|y| + k = \frac{a_0}{a}\log|ax + b| + k$$

Esempio. $\int \frac{\sqrt5}{3x - 1}\,dx$: $y = 3x - 1$, $dx = \frac13 dy$, quindi $\frac{\sqrt5}{3}\int\frac{dy}{y} = \frac{\sqrt5}{3}\log|3x - 1| + k$.

Denominatore di grado 2 ($n = 2$, quindi $m \le 1$)

$$I = \int \frac{a_0 + a_1 x}{ax^2 + bx + c}\,dx \qquad (a \ne 0)$$ Il metodo dipende dal segno del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$, cioè da come si fattorizza il denominatore.

Caso $\Delta > 0$: due radici reali distinte

L'equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha due soluzioni $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$, e il denominatore si fattorizza: $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ Scomposizione in fratti semplici. Esistono e sono uniche due costanti $A, B \in \mathbb{R}$ tali che $$\frac{a_0 + a_1 x}{ax^2 + bx + c} = \frac1a\left[\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2}\right]$$ Trovate $A$ e $B$, ogni pezzo è un denominatore di grado 1: $$I = \frac1a\left[A\int\frac{dx}{x - x_1} + B\int\frac{dx}{x - x_2}\right] = \frac1a\Big[A\log|x - x_1| + B\log|x - x_2|\Big] + k$$

Come si trovano $A$ e $B$. Si fa il denominatore comune a destra: $$\frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2} = \frac{A(x - x_2) + B(x - x_1)}{(x - x_1)(x - x_2)} = \frac{(A + B)\,x - (A x_2 + B x_1)}{(x - x_1)(x - x_2)}$$ e si impone che il numeratore sia uguale a $a_0 + a_1 x$. Per il principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali per ogni $x$ se e solo se hanno uguali, uno a uno, i coefficienti delle potenze dello stesso grado), si uguagliano il coefficiente di $x$ e il termine noto: è un sistema di due equazioni in $A$ e $B$.

Esempio. $\int \frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2}\,dx$. $\Delta = 25 - 16 = 9 > 0$, $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$, cioè $2$ e $\frac12$: $$2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)\left(x - \tfrac12\right)$$ $$\frac{2x + 1}{2x^2 - 5x + 2} = \frac12\left[\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - \frac12}\right] = \frac{(A + B)\,x - \frac12 A - 2B}{2(x - 2)(x - \frac12)}$$ Coefficienti di $x$: $A + B = 2$; termini noti: $-\frac12 A - 2B = 1$. Da $B = 2 - A$: $-\frac12 A - 4 + 2A = 1$, cioè $\frac32 A = 5$, $A = \frac{10}{3}$, $B = -\frac43$. Quindi $$I = \frac12\left[\frac{10}{3}\log|x - 2| - \frac43\log\left|x - \tfrac12\right|\right] + k = \frac53\log|x - 2| - \frac23\log\left|x - \tfrac12\right| + k$$

Scorciatoia per $A$ e $B$: l'uguaglianza $A(x - x_2) + B(x - x_1) =$ numeratore vale per ogni $x$; ponendo $x = x_1$ sparisce $B$ e si trova subito $A$, ponendo $x = x_2$ si trova $B$. Nell'esempio (numeratore $2x + 1$): $x = 2$ dà $\frac32 A = 5$; $x = \frac12$ dà $-\frac32 B = 2$. Stessi valori.

Caso $\Delta = 0$: una radice doppia

Il denominatore è un quadrato: $x_1 = -\frac{b}{2a}$ e $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2, \qquad I = \frac1a\int \frac{a_0 + a_1 x}{(x - x_1)^2}\,dx$$ Si sostituisce $y = x - x_1$ (quindi $x = y + x_1$, $dy = dx$): il numeratore diventa $a_0 + a_1(y + x_1)$ e l'integrale si spezza in $\int\frac{dy}{y}$ e $\int\frac{dy}{y^2}$, entrambi immediati ($\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} = -\frac1y$).

Esempio. $\int \frac{2x - 1}{4x^2 + 4x + 1}\,dx$: $\frac\Delta4 = 4 - 4 = 0$ e $4x^2 + 4x + 1 = 4\left(x + \frac12\right)^2$. Con $y = x + \frac12$, $x = y - \frac12$: $$\frac14\int \frac{2\left(y - \frac12\right) - 1}{y^2}\,dy = \frac14\int\left[\frac{2}{y} - \frac{2}{y^2}\right] dy = \frac12\log|y| + \frac{1}{2y} + k = \frac12\log\left|x + \tfrac12\right| + \frac{1}{2\left(x + \frac12\right)} + k$$

Caso $\Delta < 0$: nessuna radice reale (lezioni 39 e 40)

Il denominatore non si fattorizza e non si annulla mai. L'obiettivo è ricondursi ai due casi più semplici, con denominatore $x^2 + 1$: $$\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan x + k, \qquad \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac12\int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \frac12\log(x^2 + 1) + k$$ (il secondo è del tipo $\frac{f'}{f}$ dopo aver aggiustato la costante; il modulo non serve perché $x^2 + 1 > 0$).

Numeratore costante: completamento dei quadrati. Sia (dividendo per $a$, si può supporre $a = 1$) $$I_1 = \int \frac{dx}{x^2 + bx + c}, \qquad \Delta = b^2 - 4c < 0$$ Si aggiunge e si toglie $\frac{b^2}{4}$ per formare il quadrato di un binomio: $$x^2 + bx + c = \left(x^2 + bx + \frac{b^2}{4}\right) - \frac{b^2}{4} + c = \left(x + \frac b2\right)^2 + \underbrace{\frac{4c - b^2}{4}}_{= -\frac\Delta4 \, > \, 0}$$ Il numero $-\frac\Delta4$ è positivo (perché $\Delta < 0$), quindi si può chiamare $R^2$ con $R = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2} > 0$. Raccogliendo $R^2$: $$x^2 + bx + c = \left(x + \frac b2\right)^2 + R^2 = R^2\left[\left(\frac{x + \frac b2}{R}\right)^2 + 1\right]$$ Ora si sostituisce $y = \frac1R\left(x + \frac b2\right)$, $dy = \frac1R\,dx$: $$I_1 = \frac{1}{R^2}\int\frac{dx}{\left[\frac1R\left(x + \frac b2\right)\right]^2 + 1} = \frac1R\int\frac{\frac1R\,dx}{[\ldots]^2 + 1} = \frac1R\int\frac{dy}{y^2 + 1} = \frac1R\arctan\left(\frac{x + \frac b2}{R}\right) + k$$ Caso particolare ($b = 0$): $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + R^2} = \frac1R\arctan\frac xR + k$.

Esempio. $\int\frac{dx}{x^2 + x + 4}$: $\Delta = 1 - 16 < 0$, e $$x^2 + x + 4 = \left(x + \tfrac12\right)^2 - \tfrac14 + 4 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac{15}{4}, \qquad R = \frac{\sqrt{15}}{2}$$ quindi $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2 + x + 4} = \frac{2}{\sqrt{15}}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt{15}}\left(x + \tfrac12\right)\right) + k$.

Numeratore di grado 1. Per $I = \int\frac{a_0 + a_1 x}{x^2 + bx + c}\,dx$ con $\Delta < 0$ si scrive il numeratore come $$a_0 + a_1 x = A\cdot D(x^2 + bx + c) + B = A(2x + b) + B$$ (si trovano $A$ e $B$ confrontando i coefficienti: $A = \frac{a_1}{2}$, $B = a_0 - Ab$). Allora $$I = A\int\frac{2x + b}{x^2 + bx + c}\,dx + B\int\frac{dx}{x^2 + bx + c} = A\log(x^2 + bx + c) + B\,I_1$$ Il primo pezzo è $\frac{f'}{f}$ (senza modulo: il denominatore è sempre positivo), il secondo è il caso con numeratore costante. Esempio: Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi.

Grado del numeratore $\ge$ grado del denominatore: la divisione (lezione 40)

Se $m \ge n$, si fa la divisione tra polinomi: esistono un quoziente $D(x)$ e un resto $R(x)$ di grado $< n$ tali che $$P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x) \qquad \Longrightarrow \qquad \int\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = \int D(x)\,dx + \int\frac{R(x)}{Q(x)}\,dx$$ Il primo è l'integrale di un polinomio (immediato), il secondo ha grado del numeratore minore di quello del denominatore e si tratta con i metodi visti.

Esempio. $\int\frac{3x^4 - 2x^3 + 1}{x^2 + 1}\,dx$: la divisione dà $3x^4 - 2x^3 + 1 = (3x^2 - 2x - 3)(x^2 + 1) + (2x + 4)$, quindi $$\int(3x^2 - 2x - 3)\,dx + \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 4\int\frac{dx}{x^2 + 1} = x^3 - x^2 - 3x + \log(x^2 + 1) + 4\arctan x + k$$

Spesso la divisione non serve: basta aggiungere e togliere qualcosa al numeratore per far comparire il denominatore. Esempio: $\frac{2x^2 + 1}{x^2 - 4} = \frac{2(x^2 - 4) + 9}{x^2 - 4} = 2 + \frac{9}{x^2 - 4}$. Vedi Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi.

Denominatore di grado $n > 2$: cenno (lezione 40)

Ogni polinomio $Q(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ si può scomporre in fattori di primo grado (uno per ogni radice reale, ripetuto quante volte è la sua molteplicità) e di secondo grado con $\Delta < 0$ (che corrispondono a coppie di radici complesse coniugate): $$Q(x) = a_n(x - x_1)^{k_1}\cdots(x^2 + p_1 x + q_1)^{h_1}\cdots$$ Con $m < n$, la frazione si scompone in fratti semplici: per ogni fattore $(x - x_1)^{k_1}$ un termine $\frac{A_0 + A_1 x + \dots + A_{k_1 - 1}x^{k_1 - 1}}{(x - x_1)^{k_1}}$ (numeratore di grado $k_1 - 1$), per ogni fattore $x^2 + p_1 x + q_1$ (con $h_1 = 1$) un termine $\frac{Bx + C}{x^2 + p_1 x + q_1}$. In tutto le costanti incognite sono $n$, e si trovano con il principio di identità dei polinomi.

Esempio. $\frac{1}{x^3 - 3x^2 + x - 3}$: raccogliendo, $x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x^2 + 1)$ (radice reale $3$, e $x^2 + 1$ con $\Delta < 0$), quindi $$\frac{1}{(x - 3)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$$ con tre costanti. I conti completi, e un caso con una radice doppia, sono in Esercizio 140 · fratti semplici con denominatore di grado 3.

Riassunto

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $a$ nella fattorizzazione $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Applicare questi metodi con grado del numeratore $\ge$ grado del denominatore: prima va fatta la divisione tra polinomi.
• Sbagliare i segni nel sistema per $A$ e $B$: conviene sempre controllare con la scorciatoia $x = x_1$, $x = x_2$.