Lezione 40Fine delle funzioni razionali e sostituzioni

Data: venerdì 5 dicembre 2025 · Videolezione: n. 41 della playlist ("Lezione 40")

Argomenti trattati

1. Funzioni razionali con $\Delta < 0$: metodo di completamento dei quadrati per il numeratore costante; numeratore di grado 1 scritto come $A \cdot D(\text{denominatore}) + B$ (esercizi 15.1 e 15.2).
2. Estensioni: grado del numeratore $\ge$ grado del denominatore, con la divisione tra polinomi (esercizio 16) o senza (esercizi 17.1 e 17.2); cenno al denominatore di grado $> 2$, scomposizione e fratti semplici (esercizi 18.1 e 18.2).
3. Applicazioni: integrali che diventano razionali con una sostituzione: $R(f(x))f'(x)$ (esercizi 19 e 20), $R(e^x)$ e $R(a^x)$ (esercizio 21), funzioni di $e^x$ ed $e^{-x}$ come $\frac{1}{\cosh x}$ e $\frac{1}{\sinh x}$ (esercizio 22), funzioni razionali di seno e coseno con $t = \tan\frac x2$ (esercizio 24).

Teoria

• Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali → — caso $\Delta < 0$, divisione, grado $> 2$
• Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →

Esercizi

• Esercizio 139 · funzioni razionali con Δ minore di 0 e divisione tra polinomi — esercizi 15, 16, 17
• Esercizio 140 · fratti semplici con denominatore di grado 3 — esercizio 18
• Esercizio 141 · sostituzioni che portano a funzioni razionali — esercizi 19-24