Esercizio 67quante soluzioni ha arctan x + tanh x = a

Testo (Lezione 24, esempio sul teorema dei valori intermedi). Data $f(x) = \arctan x + \tanh x$, $x \in \mathbb{R}$, determinare per quali $a \in \mathbb{R}$ l'equazione $f(x) = a$ ha soluzione. Quante soluzioni ci sono?

Teoria: Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo →.

Passo 1: proprietà di $f$

• Continuità: $\arctan$ e $\tanh$ sono funzioni elementari, continue su $\mathbb{R}$; la somma di continue è continua. Quindi $f$ è continua sull'intervallo $\mathbb{R}$.
• Monotonia: $\arctan x$ è strettamente crescente, e anche $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ lo è (vedi Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →). La somma di due funzioni strettamente crescenti è strettamente crescente (se $x_1 < x_2$, entrambi gli addendi aumentano). Quindi $f$ è strettamente crescente, in particolare iniettiva.

Passo 2: estremo inferiore e superiore

Per una funzione crescente l'estremo inferiore è il limite a $-\infty$ e il superiore il limite a $+\infty$:

$$\inf_{\mathbb{R}} f = \lim_{x \to -\infty} (\arctan x + \tanh x) = -\frac{\pi}{2} - 1$$

$$\sup_{\mathbb{R}} f = \lim_{x \to +\infty} (\arctan x + \tanh x) = \frac{\pi}{2} + 1$$

(asintoti orizzontali: $\arctan x \to \pm\frac{\pi}{2}$ e $\tanh x \to \pm 1$). Inoltre $f(0) = 0 + 0 = 0$.

Questi valori non vengono raggiunti: $f$ è strettamente crescente, quindi per ogni $x$ si ha $f(x) < f(x + 1) \le \sup f$, e allo stesso modo $f(x) > \inf f$.

Passo 3: il metodo grafico

Le soluzioni di $f(x) = a$ sono le ascisse dei punti in cui il grafico incontra la retta orizzontale $y = a$:

$$\begin{cases} y = f(x) \\ y = a \end{cases}$$

• Esistenza. Per il teorema dei valori intermedi, $f(\mathbb{R})$ è l'intervallo di estremi $\inf f$ e $\sup f$, che non sono raggiunti: $f(\mathbb{R}) = \,]-\frac{\pi}{2} - 1,\ \frac{\pi}{2} + 1[$. Quindi c'è soluzione se e solo se $a$ sta in questo intervallo.
• Unicità. $f$ è strettamente crescente, quindi iniettiva: ogni valore viene assunto una sola volta.

Risultato

• Se $a \in \,]-\frac{\pi}{2} - 1,\ \frac{\pi}{2} + 1[\,$ (circa $]-2{,}571;\ 2{,}571[$): esiste una e una sola soluzione $\bar x \in \mathbb{R}$. (Per esempio con $a = 0$ la soluzione è $\bar x = 0$; con $a > 0$ è $\bar x > 0$, perché $f$ è crescente e $f(0) = 0$.)
• Se $a \le -\frac{\pi}{2} - 1$ oppure $a \ge \frac{\pi}{2} + 1$: nessuna soluzione.

Errori comuni

• Includere gli estremi $\pm\left(\frac{\pi}{2} + 1\right)$: sono limiti, non valori assunti.
• Dimenticare di giustificare l'unicità: il teorema dei valori intermedi dà l'esistenza, l'unicità viene dalla stretta monotonia.