Esercizio 149convergenza di integrali impropri al variare di a

Testo (Lezione 42, esercizi 2 e 3 del foglio). Discutere la convergenza di

$$2. \ \int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx \quad (a \in \mathbb{R}) \qquad\qquad 3. \ \int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx \quad (a > 0)$$

Strumenti: Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri → (confronto, confronto asintotico, funzioni test $\frac{1}{x^\alpha}$, che su $[1, +\infty[$ sono integrabili se e solo se $\alpha > 1$).

2. $\int_1^{+\infty}\frac{3 + \cos x}{x^a}\,dx$

Ipotesi. $f(x) = \frac{3 + \cos x}{x^a}$ è continua su $[1, +\infty[$, quindi integrabile su ogni $[1, x]$: l'unico problema è l'estremo $+\infty$.

Segno. $\cos x \ge -1$, quindi $3 + \cos x \ge 2$ e $f(x) \ge \frac{2}{x^a} > 0$: si possono usare i criteri per $f \ge 0$.

Il problema: $3 + \cos x$ non ha limite per $x \to +\infty$, quindi $f$ non è asintotica a nessuna $\frac{L}{x^a}$ (il rapporto $\frac{f(x)}{1/x^a} = 3 + \cos x$ oscilla). Si usa il confronto con una doppia disuguaglianza: da $2 \le 3 + \cos x \le 4$, $$0 < \frac{2}{x^a} \le f(x) \le \frac{4}{x^a} \qquad \forall x \ge 1$$

• Se $a > 1$: $\frac{4}{x^a}$ è integrabile in s.g. (funzione test con $\alpha = a > 1$, moltiplicata per $4$), quindi per il confronto (punto 1) lo è $f$.
• Se $a \le 1$: $\frac{2}{x^a}$ non è integrabile in s.g., quindi per il confronto (punto 2) non lo è $f$.

Conclusione: l'integrale converge se e solo se $a > 1$ (e diverge a $+\infty$ per $a \le 1$).

3. $\int_1^{+\infty}(\sqrt x + 5)\sin\left(\frac{1}{x^a}\right) dx$, $a > 0$

Ipotesi. $f$ è continua su $[1, +\infty[$. Siccome $a > 0$, $\frac{1}{x^a} \to 0^+$ per $x \to +\infty$, quindi $\sin\frac{1}{x^a} > 0$ definitivamente e $f > 0$ definitivamente.

Asintotico. $\sin y \sim y$ per $y \to 0$, con $y = \frac{1}{x^a}$; e $\sqrt x + 5 \sim x^{1/2}$. Il prodotto conserva l'asintoticità: $$f(x) \sim x^{1/2}\cdot\frac{1}{x^a} = \frac{1}{x^{a - 1/2}}$$ Confronto asintotico con la funzione test di esponente $\alpha = a - \frac12$: converge se e solo se $a - \frac12 > 1$, cioè $$a > \frac32$$

Conclusione: l'integrale converge se e solo se $a > \frac32$; per $0 < a \le \frac32$ diverge a $+\infty$.

Errori comuni

• In 2, scrivere $f \sim \frac{3}{x^a}$: $\cos x$ non tende a $0$, quindi $3 + \cos x$ non è asintotico a $3$. Serve la doppia disuguaglianza.
• In 3, usare $\sin y \sim y$ se l'argomento non tende a $0$: qui va bene solo perché $a > 0$.