Lezione 44Esercizi di ricapitolazione sugli integrali

Data: lunedì 15 dicembre 2025 · Videolezione: n. 45 della playlist ("Lezione 44")

Argomenti trattati

Lezione di soli esercizi, dal foglio di ricapitolazione sugli integrali.

1. Convergenza di integrali impropri: su tutto $\mathbb{R}$ (esercizio 6), con funzioni iperboliche e logaritmi (esercizi 7, 14), impropri sia in $0$ sia a $+\infty$ (esercizio 11), con una forma $1^\infty$ (esercizio 13), vicino a $0$ con potenze del logaritmo (esercizio 16), su $]-\infty, 0]$ con un parametro (esercizio 15).
2. Calcolo di integrali impropri per valori particolari del parametro: arcotangenti, per parti e fratti semplici (esercizi 7, 11, 12, 14, 15).
3. Area della regione tra due grafici (esercizio 17), con la formula "sopra meno sotto".
4. Primitiva con una condizione $F(x_0) = y_0$ tramite la funzione integrale (esercizio 19); derivata di $\int_1^{g(x)} f(t)\,dt$ con la regola della catena, monotonia e limite (esercizio 20).

Teoria

• Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →
• Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media → — area tra due grafici
• Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → — primitiva con una condizione, derivata di $\int_a^{g(x)} f$

Esercizi

• Esercizio 153 · integrali impropri con cosh e tanh — esercizi 6 e 7
• Esercizio 154 · integrali impropri tra 0 e +∞ con arcotangente e tangente iperbolica — esercizio 11
• Esercizio 155 · arctan x su x^a(1+x)^2a e una forma 1^∞ — esercizi 12 e 13 (nel PDF il risultato dell'esercizio 12 è sbagliato: vedi la nota nell'esercizio)
• Esercizio 156 · integrali impropri con potenze del logaritmo — esercizi 14 e 16
• Esercizio 157 · integrale da -∞ a 0 con parametro e modulo — esercizio 15 (corretta la conclusione: converge per $\alpha \le 3$)
• Esercizio 158 · area tra una retta e una parabola — esercizio 17
• Esercizio 159 · primitiva con una condizione e derivata di una funzione integrale — esercizi 19 e 20