Esercizio 152integrali impropri su intervalli limitati

Testo (Lezione 43, esercizi 8, 9, 10 del foglio nuovo). Discutere la convergenza di

$$8. \ \int_2^3\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sin(x - 2)}\,dx \qquad 9. \ \int_3^4\frac{2 + \cos\left(\frac{3}{x - 3}\right)}{\sqrt{x - 3}}\,dx \qquad 10. \ \int_{-1}^1\frac{\sin\left(\sqrt[3]{1 - x}\right) + 2e^{-\frac{1}{1-x}}(1 + x)}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$$

Sono integrali impropri su intervalli limitati: la funzione esplode vicino a un estremo. Strumenti: il corollario del confronto asintotico vicino a un estremo finito (vedi Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →), dove $\frac{1}{(x - a)^\alpha}$ è integrabile vicino ad $a$ se e solo se $\alpha < 1$.

8. $\int_2^3\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{\sin(x - 2)}\,dx$

Dominio. Serve $x^2 - 4 \ge 0$, cioè $x \le -2$ o $x \ge 2$; e $\sin(x - 2) \ne 0$: in $[2, 3]$, $x - 2 \in [0, 1]$, e il seno si annulla solo per $x = 2$. Quindi $f$ è continua su $]2, 3]$, e $f \ge 0$ (radice $\ge 0$, e $\sin(x - 2) > 0$ per $x - 2 \in \,]0, 1]$). Il problema è $x \to 2^+$.

Asintotico per $x \to 2^+$ (cioè $y = x - 2 \to 0^+$):

• $\sqrt{x^2 - 4} = (x - 2)^{1/2}(x + 2)^{1/2}$, e $(x + 2)^{1/2} \to \sqrt4 = 2$, quindi $\sqrt{x^2 - 4} \sim 2(x - 2)^{1/2}$;
• $\sin(x - 2) \sim x - 2$ (perché $x - 2 \to 0$).

$$f(x) \sim \frac{2(x - 2)^{1/2}}{x - 2} = \frac{2}{(x - 2)^{1/2}}$$ Esponente $\alpha = \frac12 < 1$: per il punto (A) l'integrale converge.

9. $\int_3^4\frac{2 + \cos\left(\frac{3}{x - 3}\right)}{\sqrt{x - 3}}\,dx$

Ipotesi. $f$ è continua su $]3, 4]$; da $\cos(\ldots) \ge -1$ segue $f(x) \ge \frac{1}{\sqrt{x - 3}} > 0$. Il problema è $x \to 3^+$.

Il fattore oscillante. Per $x \to 3^+$, $\frac{3}{x - 3} \to +\infty$ e $\cos\frac{3}{x - 3}$ oscilla senza limite: niente asintotico. Si usa il confronto: da $\cos(\ldots) \le 1$, $$0 < f(x) \le \frac{2 + 1}{(x - 3)^{1/2}} = \frac{3}{(x - 3)^{1/2}}$$ e $\frac{3}{(x - 3)^{1/2}}$ è integrabile vicino a $3$ ($\alpha = \frac12 < 1$). Per il teorema del confronto l'integrale converge.

10. $\int_{-1}^1\frac{\sin\left(\sqrt[3]{1 - x}\right) + 2e^{-\frac{1}{1-x}}(1 + x)}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$

Dominio. $e^{-\frac{1}{1-x}}$ richiede $x \ne 1$; $\sqrt{1 - x^2}$ al denominatore richiede $1 - x^2 > 0$, cioè $-1 < x < 1$. Quindi $f$ è continua su $]-1, 1[$, ed è impropria in entrambi gli estremi. Inoltre $f > 0$: per $-1 < x < 1$, $\sqrt[3]{1 - x} \in \,]0, \sqrt[3]2[$, con $\sqrt[3]2 \approx 1{,}26 < \pi$, quindi il seno è positivo; e l'altro addendo è $\ge 0$.

L'integrale converge se e solo se converge vicino a $-1^+$ e vicino a $1^-$ (si spezza in un punto interno, per esempio $0$).

Vicino a $-1^+$ ($y = x + 1 \to 0^+$)

• NUM $\to \sin\left(\sqrt[3]2\right) + 2e^{-\frac12}\cdot 0 = \sin\left(\sqrt[3]2\right) \ne 0$: il numeratore tende a un numero diverso da zero, quindi è asintotico a quel numero.
• DEN $= \sqrt{(1 - x)(1 + x)} = (1 - x)^{1/2}(x + 1)^{1/2} \sim \sqrt2\,(x + 1)^{1/2}$ (perché $1 - x \to 2$).

$$f(x) \sim \frac{\sin\sqrt[3]2}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{(x + 1)^{1/2}}, \qquad \alpha = \frac12 < 1: \text{ converge.}$$

Vicino a $1^-$ ($y = 1 - x \to 0^+$)

• NUM: $\sin\left(\sqrt[3]{1 - x}\right) \sim (1 - x)^{1/3}$ (l'argomento tende a $0$). L'altro addendo: $2e^{-\frac{1}{1-x}}(1 + x) \sim 4e^{-\frac{1}{1-x}}$, e con $y = 1 - x$ è $4e^{-1/y}$, che tende a $0$ più in fretta di qualunque potenza di $y$: $e^{-1/y} = o(y^\alpha)$ per ogni $\alpha > 0$ (con $t = \frac1y \to +\infty$, $\frac{e^{-t}}{t^{-\alpha}} = \frac{t^\alpha}{e^t} \to 0$, gerarchia degli infiniti). In particolare è $o\left((1 - x)^{1/3}\right)$, quindi $\text{NUM} \sim (1 - x)^{1/3}$.
• DEN $= (1 - x)^{1/2}(1 + x)^{1/2} \sim \sqrt2\,(1 - x)^{1/2}$.

$$f(x) \sim \frac{(1 - x)^{1/3}}{\sqrt2\,(1 - x)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{(1 - x)^{1/6}}, \qquad \alpha = \frac16 < 1: \text{ converge.}$$

Conclusione

Converge vicino a entrambi gli estremi: l'integrale converge.

Errori comuni

• In 9, cercare un asintotico: $\cos\frac{3}{x-3}$ non ha limite, serve il confronto.
• In 10, studiare un solo estremo: l'integrale è improprio in tutti e due, e devono convergere entrambi.
• Usare la soglia $\alpha > 1$ (quella di $+\infty$) vicino a un estremo finito: qui la condizione è $\alpha < 1$.