Funzioni continue

Lezione 20. Prerequisiti: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione →, Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni →.

Negli esempi visti finora il limite in un punto del dominio era quasi sempre il valore della funzione in quel punto: $\lim_{x \to x_0} e^x = e^{x_0}$, $\lim_{x \to x_0} \log x = \log x_0$. Le funzioni con questa proprietà si chiamano continue. Il grafico di una funzione continua su un intervallo si disegna "senza staccare la penna".

Definizione

Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in X$ di accumulazione per $X$. Si dice che $f$ è continua in $x_0$ se $$\exists \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ $f$ è continua in $X$ se è continua in ogni punto $x_0 \in X$ di accumulazione per $X$.

Due condizioni, entrambe necessarie: il limite esiste ed è uguale al valore in $x_0$ (che esiste, perché $x_0 \in X$).

Punti isolati. Nei punti del dominio che non sono di accumulazione (punti isolati) il limite non ha senso; per convenzione in quei punti $f$ si considera continua. Esempio: $f: [0, 1] \cup \{2\} \to \mathbb{R}$ è continua in $[0, 1] \cup \{2\}$ se è continua in ogni $x_0 \in [0, 1]$; nel punto isolato $2$ non c'è niente da verificare.

Esempio di funzione non continua. $f(x) = 1$ per $x \ne 0$, $f(0) = 0$: $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \ne 0 = f(0)$, quindi $f$ non è continua in $0$ (il grafico ha un "buco" in $(0, 1)$ e un punto staccato in $(0, 0)$).

Per le funzioni continue non serve $x \ne x_0$

Nella definizione di limite si escludeva $x = x_0$ ($0 < |x - x_0| < \delta$). Se però il limite vale proprio $f(x_0)$, il punto $x = x_0$ soddisfa automaticamente la condizione: $|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \varepsilon$. Quindi $f$ è continua in $x_0$ se e solo se:

1. (forma topologica) $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0$ tale che $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ per ogni $x \in X$ con $|x - x_0| < \delta$ (non serve $0 <$);
2. (forma con le successioni) per ogni successione $(x_n) \subseteq X$ con $x_n \to x_0$ si ha $f(x_n) \to f(x_0)$ (non serve $x_n \ne x_0$).

La forma 2 dice che per una funzione continua "il limite passa dentro": $\lim_n f(x_n) = f\left(\lim_n x_n\right)$.

Osservazione. Anche per $x_0 = \pm\infty$ la condizione $x \ne x_0$ è superflua, per un motivo diverso: ogni $x \in \mathbb{R}$ è automaticamente diverso da $\pm\infty$.

Proprietà delle funzioni continue

Dai teoremi sui limiti seguono subito, per $f, g: X \to \mathbb{R}$ continue in $x_0 \in X$ (di accumulazione):

1. Permanenza del segno: se $f(x_0) > 0$, esiste $\delta > 0$ tale che $f(x) > 0$ per ogni $x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ (allo stesso modo con $< 0$).
2. Seconda forma: se $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in X \cap \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$, $x \ne x_0$, allora $f(x_0) \ge 0$ (allo stesso modo con $\le 0$).
3. Operazioni: $f + g$, $f - g$, $c\,f$ (per ogni $c \in \mathbb{R}$) e $f \cdot g$ sono continue in $x_0$; se $g(x_0) \ne 0$ anche $\frac1g$ e $\frac{f}{g}$. Per esempio $\lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = f(x_0) + g(x_0)$ per l'algebra dei limiti.

Continuità delle funzioni elementari

Teorema. Sono continue nei loro domini:

1. il valore assoluto;
2. le potenze $x^\alpha$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha \ne 0$;
3. esponenziali e logaritmi di base $a > 0$, $a \ne 1$;
4. le funzioni iperboliche e le loro inverse;
5. le funzioni trigonometriche e le loro inverse.

Dimostrazione per $\sin x$

Si deve mostrare che per ogni $x_0 \in \mathbb{R}$ vale $\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0$, cioè: per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che

$$|\sin x - \sin x_0| < \varepsilon \qquad \forall x \in \mathbb{R},\ |x - x_0| < \delta$$

(basta farlo per gli $\varepsilon < \pi$: se funziona per $\varepsilon$ piccoli, funziona anche per quelli grandi). Servono due fatti.

1. Formula di prostaferesi: $$\sin x - \sin x_0 = 2\sin\left(\frac{x - x_0}{2}\right)\cos\left(\frac{x + x_0}{2}\right)$$
2. Il seno è più piccolo dell'angolo: $|\sin\theta| \le |\theta|$ (con $\theta$ in radianti). Perché: sulla circonferenza goniometrica, per $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}[$, $\sin\theta$ è la lunghezza del segmento verticale dal punto all'asse $x$, mentre $\theta$ è la lunghezza dell'arco dal punto $(1, 0)$; il segmento è più corto dell'arco. Per $\theta$ negativi si usa la simmetria ($\sin$ è dispari), e per $|\theta| \ge \frac{\pi}{2}$ è ovvio perché $|\sin\theta| \le 1 < \frac{\pi}{2}$.

Si sceglie $\delta = \varepsilon$. Per $|x - x_0| < \delta$:

$$|\sin x - \sin x_0| = 2\left|\sin\frac{x - x_0}{2}\right| \cdot \underbrace{\left|\cos\frac{x + x_0}{2}\right|}_{\le 1} \le 2\left|\frac{x - x_0}{2}\right| = |x - x_0| < \delta = \varepsilon$$

(il coseno ha modulo al più $1$; poi si è usato il fatto 2 con $\theta = \frac{x - x_0}{2}$) ∎.

Conseguenza

Somme, differenze, prodotti e quozienti di funzioni elementari sono continui in tutto il loro dominio. Quindi per una funzione costruita così, "dove è continua?" ha come risposta "nel suo dominio".

Esempio. Dove è continua $f(x) = e^x - \frac{\log x}{1 + \tan^2 x}$? È composta da funzioni elementari con somme e quozienti (il denominatore $1 + \tan^2 x \ge 1 > 0$ non si annulla mai), quindi è continua in tutto il dominio:

$$\begin{cases} x > 0 & (\log) \\ x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} & (\tan) \end{cases}$$

Domanda: $\sin(e^x)$ è continua in $\mathbb{R}$? Sì, ma qui c'è una composizione, non una somma o un prodotto: per rispondere serve il teorema sul limite delle funzioni composteSe g(x) tende a y0 e f(y) tende a ℓ per y → y0, allora f(g(x)) tende a ℓ, con un'ipotesi in più se y0 è reale e f non è continua in y0.Limite di funzioni composte (cambio di variabile) →.

Errori comuni

• Dire "continua" senza che il punto stia nel dominio: $\frac1x$ non è "discontinua in $0$", in $0$ non è proprio definita; nel suo dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ è continua.
• Verificare solo che il limite esista: deve anche valere $f(x_0)$.
• Dimenticare che le inverse sono continue: $\arcsin$, $\arctan$, $\mathrm{settsinh}$... sono tutte continue nel loro dominio.