Lezione 22Limiti notevoli e asintoticità

Data: mercoledì 5 novembre 2025 · Videolezione: n. 24 della playlist ("Lezione 22", 1h37)

Argomenti trattati

1. Limiti notevoli, gruppo 1 con le dimostrazioni: $\left(1 + \frac1x\right)^x \to e$ (dal teorema ponte), $\frac{\log_a(1+x)}{x}$, $\frac{a^x - 1}{x}$, $\frac{(1+x)^\alpha - 1}{x}$.
2. Limiti notevoli, gruppo 2 (trigonometrici) con le dimostrazioni: $\frac{\sin x}{x}$ con il confronto geometrico, $\frac{\tan x}{x}$, $\frac{1 - \cos x}{x^2}$, $\frac{\arcsin x}{x}$, $\frac{\arctan x}{x}$, $x\left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)$.
3. I limiti notevoli come asintoticità ($e^x - 1 \sim x$, $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$...), anche per funzioni composte con argomento che tende a $0$, e per $x_0$ qualunque.
4. Esercizi del foglio 5-9: forme $\frac00$ risolte "a mano" e con asintoticità e o-piccoli.

Teoria

• Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →
• Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni → — l'algebra degli o-piccoli usata negli esercizi

Esercizi

• Esercizio 61 · arctan² x su 1 - cos x e somme con tan e sin — esercizi 5 e 6
• Esercizio 62 · sin(e^-x) su e^-x a più e meno infinito — esercizio 7
• Esercizio 63 · limiti con log(1+1/n², e^-1/n) e arcsin — esercizi 8 e 9