Esercizio 71punti angolosi, flessi a tangente verticale e cuspidi

Testo (Lezione 25, esempi). Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili in $x_0 = 0$ e, se non lo sono, classificare il punto:

1. $f_1(x) = |x|$
2. $f_2(x) = \begin{cases} x + 1 & x \ge 0 \\ x - 1 & x < 0 \end{cases}$
3. $f_3(x) = \sqrt[3]{x}$
4. $f_4(x) = \sqrt{|x|}$

Teoria: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →.

Il metodo

1. Controllare che $f$ sia continua in $x_0$: se non lo è, non è derivabile (derivabile implica continua), e la classificazione dei punti di non derivabilità non si applica.
2. Calcolare la derivata destra e sinistra con il rapporto incrementale: $$f'(0^\pm) = \lim_{x \to 0^\pm} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$
3. Confrontare:
   • uguali e finite: derivabile;
   • finite e diverse: punto angoloso;
   • entrambe $+\infty$ o entrambe $-\infty$: flesso a tangente verticale;
   • una $+\infty$ e l'altra $-\infty$: cuspide.

1. $f_1(x) = |x|$

Continua in $0$ (il modulo è una funzione elementare). $f_1(0) = 0$.

• $f_1'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$ (per $x > 0$, $|x| = x$);
• $f_1'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$ (per $x < 0$, $|x| = -x$).

Finite e diverse: punto angoloso. Il grafico ha uno spigolo: arrivando da sinistra la pendenza è $-1$, ripartendo verso destra è $+1$.

2. La funzione con il salto

Non è continua in $0$: $f_2(0) = 0 + 1 = 1$, ma $\lim_{x \to 0^-} f_2(x) = 0 - 1 = -1 \ne 1$. Quindi non è derivabile in $0$.

Le derivate laterali (con $f_2(0) = 1$):

• $f_2'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$;
• $f_2'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(x - 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{x - 2}{x} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$.

Non si parla di punto angoloso o di cuspide: la classificazione riguarda solo i punti in cui $f$ è continua. Qui c'è semplicemente una discontinuità (di prima specie, con salto $2$).

Osservazione. Per $x \ne 0$ si ha $f_2'(x) = 1$ da entrambe le parti, eppure $f_2'(0^-) = +\infty$: la derivata sinistra non è il limite sinistro della derivata. Succede perché $f_2$ non è continua in $0$.

3. $f_3(x) = \sqrt[3]{x}$

Continua in $0$, $f_3(0) = 0$.

• $f_3'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{1/3}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{1 - 1/3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{2/3}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$;
• per $x < 0$, $\sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{|x|}$, quindi $\frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{-|x|^{1/3}}{-|x|} = \frac{1}{|x|^{2/3}} \to +\infty$: $f_3'(0^-) = +\infty$.

(Più in fretta: $f_3$ è dispari, quindi $f_3'$ è pari e $f_3'(0^-) = f_3'(0^+)$.)

Entrambe $+\infty$: punto di flesso a tangente verticale. La tangente in $0$ è la retta verticale $x = 0$, e il grafico la attraversa (sale sempre, ma in $0$ diventa "verticale").

4. $f_4(x) = \sqrt{|x|}$

Continua in $0$, $f_4(0) = 0$.

• $f_4'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^{1/2}} = +\infty$;
• $f_4$ è pari ($\sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|}$), quindi $f_4'$ è dispari: $f_4'(0^-) = -f_4'(0^+) = -\infty$.

Una $-\infty$ e l'altra $+\infty$: cuspide. Il grafico arriva in $0$ scendendo in verticale e riparte salendo in verticale: una "punta".

Riepilogo

Errori comuni

• Classificare un punto di discontinuità come angoloso o cuspide.
• Dire che $\sqrt[3]{x}$ è derivabile in $0$ "perché la tangente esiste": la tangente è verticale, la derivata sarebbe infinita, e la derivata deve essere un numero reale.
• Usare $\lim f'(x)$ al posto della derivata laterale senza controllare la continuità.