Esercizio 129serie con Taylor di esponenziale e seno al variare di a

Testo (Lezione 37, esercizio 6 del foglio di ricapitolazione). Studiare al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$ la convergenza della serie

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{\frac{a}{n^3}} - 1 - \frac2n - \frac{4}{3n^3} + \sin\left(\frac2n\right)}{\arctan^2\left(\frac2n\right)}$$

Il problema del segno

Posto $a_n$ l'addendo, non si sa a priori se è $\ge 0$: il numeratore è una somma di termini con segni diversi e dipende da $a$. Strategia: trovare l'asintotico di $a_n$; questo dirà anche il segno definitivo (una successione asintotica a $c \cdot b_n$ con $b_n > 0$ ha definitivamente il segno di $c$).

Numeratore: sviluppi di Mac-Laurin

Il numeratore contiene $-1 - \frac2n$, che si cancellerà con i primi termini degli sviluppi: per questo serve la formula di TaylorUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → e non basta l'asintoticità (in una somma l'asintoticità non funziona). Gli argomenti $\frac{a}{n^3}$ e $\frac2n$ tendono a $0$, quindi si possono usare gli Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →.

$$e^{\frac{a}{n^3}} = 1 + \frac{a}{n^3} + \frac12 \cdot \frac{a^2}{n^6} + o\left(\frac{1}{n^6}\right)$$ $$\sin\left(\frac2n\right) = \frac2n - \frac16 \cdot \frac{8}{n^3} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{2^5}{n^5} + o\left(\frac{1}{n^6}\right)$$

Perché fino a $\frac{1}{n^5}$ nel seno: al primo tentativo ci si fermerebbe a $\frac{1}{n^3}$; ma per un valore particolare di $a$ il coefficiente di $\frac{1}{n^3}$ si annulla (si vede sotto), e allora serve il termine successivo, che nel seno è quello in $\frac{1}{n^5}$.

Sommando tutto: $$\text{NUM} = \cancel{1} + \frac{a}{n^3} + \frac{a^2}{2n^6} - \cancel{1} - \cancel{\frac2n} - \frac{4}{3n^3} + \cancel{\frac2n} - \frac{8}{6n^3} + \frac{2^5}{5!\,n^5} + o\left(\frac{1}{n^6}\right)$$ Con $\frac86 = \frac43$, i termini in $\frac{1}{n^3}$ sono $a - \frac43 - \frac43 = a - \frac83$; il termine $\frac{a^2}{2n^6}$ è $o\left(\frac{1}{n^5}\right)$. Quindi $$\text{NUM} = \left(a - \frac83\right)\frac{1}{n^3} + \frac{2^5}{5!}\cdot\frac{1}{n^5} + o\left(\frac{1}{n^5}\right) \sim \begin{cases} \left(a - \frac83\right)\dfrac{1}{n^3} & a \ne \frac83 \\[2mm] \dfrac{2^5}{5!}\cdot\dfrac{1}{n^5} & a = \frac83 \end{cases}$$

Denominatore

$\frac2n \to 0$ e $\arctan t \sim t$, quindi $\arctan^2\frac2n \sim \left(\frac2n\right)^2 = \frac{4}{n^2}$.

Asintotico di $a_n$ e conclusione

$a \ne \frac83$: $$a_n \sim \frac{\left(a - \frac83\right)\frac{1}{n^3}}{\frac{4}{n^2}} = \frac14\left(a - \frac83\right)\cdot\frac1n$$

• $a > \frac83$: $a_n > 0$ definitivamente e $a_n \sim c \cdot \frac1n$ con $c > 0$: come la serie armonica, diverge a $+\infty$.
• $a < \frac83$: $a_n < 0$ definitivamente; la serie $\sum (-a_n)$ è a termini positivi, $\sim |c| \cdot \frac1n$, diverge a $+\infty$, quindi $\sum a_n$ diverge a $-\infty$ (vedi "Serie a termini negativi" in Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →).

$a = \frac83$: $$a_n \sim \frac{\frac{2^5}{5!}\cdot\frac{1}{n^5}}{\frac{4}{n^2}} = \frac14 \cdot \frac{32}{120} \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{15}\cdot\frac{1}{n^3} > 0$$ armonica generalizzata con esponente $3 > 1$: converge.

Conclusione: la serie converge solo per $a = \frac83$; diverge a $+\infty$ per $a > \frac83$ e a $-\infty$ per $a < \frac83$.

Errori comuni

• Fermare lo sviluppo del seno a $\frac{1}{n^3}$: per $a = \frac83$ resterebbe $0 + o\left(\frac{1}{n^3}\right)$, che non dice nulla.
• Dimenticare il segno: per $a < \frac83$ la serie è a termini definitivamente negativi e diverge a $-\infty$, non a $+\infty$.