Esercizio 151integrale improprio con logaritmi e arcotangente

Testo (Lezione 43, esercizio 5 del foglio). Discutere la convergenza di

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt x + 2x\log x - 6}{x^2 + 3x^2\log^3 x + \arctan(x^4)}\,dx$$

Ipotesi

Il denominatore è positivo su $[1, +\infty[$ (somma di termini $\ge 0$, e $x^2 \ge 1$), quindi $f$ è continua su $[1, +\infty[$ e integrabile su ogni $[1, x]$: l'unico problema è $+\infty$.

Segno. Non serve sapere se $f \ge 0$ ovunque (in $x = 1$ il numeratore vale $1 + 0 - 6 = -5 < 0$!): i criteri richiedono $f \ge 0$ solo definitivamente, e lo si vedrà dall'asintotico, che è positivo.

Asintotico per $x \to +\infty$

Si confrontano gli addendi con la gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →:

• Numeratore: $\sqrt x = x^{1/2}$, $2x\log x$, $-6$. Il più grande è $2x\log x$: $\frac{x^{1/2}}{x\log x} = \frac{1}{x^{1/2}\log x} \to 0$. Quindi $\text{NUM} \sim 2x\log x$.
• Denominatore: $x^2$, $3x^2\log^3 x$, $\arctan(x^4) \to \frac\pi2$ (limitato). Il più grande è $3x^2\log^3 x$ (rispetto a $x^2$ ha in più il fattore $\log^3 x \to +\infty$). Quindi $\text{DEN} \sim 3x^2\log^3 x$.

$$f(x) \sim \frac{2x\log x}{3x^2\log^3 x} = \frac23\cdot\frac{1}{x\log^2 x}$$

In particolare $f > 0$ definitivamente.

Conclusione

$f$ è asintotica alla funzione test $\frac{L}{x^\alpha\log^\beta x}$ con $\alpha = 1$ e $\beta = 2$. Per il punto (A') del corollario (vedi Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →), con $\alpha = 1$ l'integrale converge se e solo se $\beta > 1$: qui $\beta = 2 > 1$, quindi l'integrale converge.

Perché serve (A'): con le sole potenze $\frac{1}{x^\alpha}$ non si concluderebbe. $f$ non è asintotica a nessuna potenza, e $x^\alpha f(x) \sim \frac23\cdot\frac{x^{\alpha - 1}}{\log^2 x}$ tende a $+\infty$ per $\alpha > 1$ e a $0$ per $\alpha \le 1$: proprio i casi in cui (B) e (C) non dicono nulla.

Errori comuni

• Fermarsi a $f \sim \frac{1}{x\cdot(\ldots)}$ e concludere "come $\frac1x$, diverge": il logaritmo al denominatore conta, e con $\beta > 1$ fa convergere.
• Preoccuparsi del segno negativo vicino a $x = 1$: su un intervallo limitato $[1, M]$ l'integrale è un normale integrale definito; conta solo il comportamento a $+\infty$.