Esercizio 55(3+x)²/log x) e il logaritmo asintotico

Testo (Lezione 19, esercizio 8 del foglio della settimana). Calcolare

$$L = \lim_{x \to +\infty} (3 + x)^{\frac{2}{\log x}}$$

Teoria: Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →.

Passo 0: che forma è

La base $3 + x \to +\infty$, l'esponente $\frac{2}{\log x} \to 0$: è una forma $\infty^0$, indeterminata (una base enorme spinge verso $+\infty$, un esponente quasi nullo verso $1$).

Passo 1: la forma esponenziale

Come sempre per le potenze con base ed esponente variabili:

$$f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\log f(x)}$$

(vale perché la base $3 + x$ è positiva). Quindi

$$(3 + x)^{\frac{2}{\log x}} = e^{\frac{2}{\log x}\log(3 + x)} = e^{2\frac{\log(3 + x)}{\log x}}$$

e basta trovare il limite dell'esponente.

Passo 2: il limite dell'esponente

$$\lim_{x \to +\infty} 2\,\frac{\log(3 + x)}{\log x}$$

è una forma $\frac{\infty}{\infty}$. Si raccoglie il termine più grande dentro il logaritmo e si usano le proprietà del logaritmo:

$$\log(3 + x) = \log\left(x\left(1 + \frac3x\right)\right) = \log x + \log\left(1 + \frac3x\right)$$

Il secondo addendo tende a $\log 1 = 0$, quindi è trascurabile rispetto a $\log x \to +\infty$: $\log(3 + x) = \log x + o(\log x) \sim \log x$. Allora

$$\lim_{x \to +\infty} 2\,\frac{\log(3 + x)}{\log x} = \lim_{x \to +\infty} 2\,\frac{\log x}{\log x} = 2$$

Passo 3: conclusione

L'esponenziale "passa dentro" il limite (è una funzione elementare):

$$L = e^2 \approx 7{,}389$$

Verifica numerica. $x = 100$: $\approx 7{,}48$; $x = 10^4$: $\approx 7{,}3895$; $x = 10^8$: $\approx 7{,}38906$ ✓ ($e^2 = 7{,}38906\ldots$).

Lo stesso in un colpo: il logaritmo conserva l'asintoticità

Vale anche per le funzioni la proprietà vista per le successioni:

Se $f(x) \sim g(x)$ per $x \to x_0$ e $f, g \to +\infty$ (oppure $\to 0^+$) per $x \to x_0$, allora $\log f(x) \sim \log g(x)$ per $x \to x_0$.

Qui $3 + x \sim x \to +\infty$, quindi subito $\log(3 + x) \sim \log x$ e l'esponente tende a $2\frac{\log x}{\log x} = 2$.

Attenzione: la stessa cosa non vale per l'esponenziale: $3 + x \sim x$, ma $\frac{e^{3+x}}{e^x} = e^3 \ne 1$, quindi $e^{3+x} \not\sim e^x$.

Errori comuni

• "La base va a $+\infty$, quindi il risultato è $+\infty$", oppure "l'esponente va a $0$, quindi il risultato è $1$": è una forma indeterminata, il risultato è $e^2$.
• Scrivere $\log(3 + x) = \log 3 + \log x$: il logaritmo di una somma non è la somma dei logaritmi; si raccoglie $x$ per avere un prodotto.