Lezione 18Definizione di limite di funzione e teorema ponte

Data: mercoledì 29 ottobre 2025 · Videolezione: n. 20 della playlist ("Lezione 18", 1h50)

Argomenti trattati

1. Punti di accumulazione di un insieme $X \subseteq \mathbb{R}$, anche con le successioni; esempi: $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, intervalli, $\mathbb{N}$ (l'unico punto di accumulazione di $\mathbb{N}$ è $+\infty$: ecco perché le successioni hanno solo il limite per $n \to +\infty$).
2. Definizione topologica di limite con gli intorni e sua traduzione nei casi $x_0 \in \mathbb{R}$ e $x_0 = \pm\infty$, con $\ell$ finito o infinito; perché nella definizione serve $0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$ (il limite non dipende da $f(x_0)$).
3. Limite destro e sinistro, legame con il limite; limiti di $\log x$ e $\frac1x$ in $0$; funzioni pari e dispari.
4. Asintoti verticali (sinistro, destro, completo) e orizzontali (a $\pm\infty$).
5. Verifica con la definizione di $\lim_{x \to +\infty} [x] = +\infty$ e di $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+$; limite per eccesso e per difetto; la notazione "definitivamente per $x \to x_0$".
6. Teorema ponte tra limiti di funzioni e di successioni (dimostrazione in fondo, non in programma).

Teoria

• Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → — dal paragrafo "Punti di accumulazione" in poi
• Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →
• Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni →

Esercizi

• Esercizio 51 · verificare limiti di funzioni con la definizione — $\frac1x$ e $\log x$ in $0$, $[x]$ a $+\infty$, $e^x$ a $-\infty$
• Esercizio 52 · punti di accumulazione — gli esempi della lezione più due insiemi in più