Esercizio 136per parti con x² e^-x ed e^3x sin x

Testo (Lezione 39, esercizio 9 del foglio). Calcolare

$$\int x^2 e^{-x}\,dx, \qquad \int e^{3x}\sin x\,dx$$

Sono prodotti di funzioni elementari diverse: nessuna sostituzione funziona, si usa l'Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →.

(a) $\int x^2 e^{-x}\,dx$

Scelta: si deriva il polinomio ($f = x^2$, il grado scende) e si integra l'esponenziale ($g' = e^{-x}$, con $g = -e^{-x}$, perché $D(-e^{-x}) = e^{-x}$).

Primo passaggio. $f' = 2x$: $$\int x^2 e^{-x}\,dx = x^2\cdot(-e^{-x}) - \int 2x\cdot(-e^{-x})\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x\,e^{-x}\,dx$$ Il polinomio è sceso dal grado $2$ al grado $1$.

Secondo passaggio su $\int x e^{-x}\,dx$, stessa scelta ($f = x$, $g' = e^{-x}$; $f' = 1$, $g = -e^{-x}$): $$\int x\,e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - \int 1\cdot(-e^{-x})\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + k$$

Mettendo insieme: $$\int x^2 e^{-x}\,dx = -x^2 e^{-x} + 2\left(-x\,e^{-x} - e^{-x}\right) + k = -e^{-x}\left(x^2 + 2x + 2\right) + k$$

Controllo. $D\left[-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)\right] = e^{-x}(x^2 + 2x + 2) - e^{-x}(2x + 2) = x^2 e^{-x}$ ✓.

In generale per $\int x^n e^{\alpha x}\,dx$ servono $n$ passaggi per parti, uno per ogni grado del polinomio.

(b) $\int e^{3x}\sin x\,dx$: integrale circolare

Qui nessun fattore "si semplifica" derivando. Si fanno due passaggi per parti, scegliendo sempre $f$ = esponenziale (si potrebbe anche scegliere sempre $f$ = funzione trigonometrica: l'importante è non cambiare).

Primo passaggio. $f = e^{3x}$, $g' = \sin x$ $\Rightarrow$ $f' = 3e^{3x}$, $g = -\cos x$: $$\int e^{3x}\sin x\,dx = -e^{3x}\cos x + 3\int e^{3x}\cos x\,dx$$

Secondo passaggio. $f = e^{3x}$, $g' = \cos x$ $\Rightarrow$ $f' = 3e^{3x}$, $g = \sin x$: $$\int e^{3x}\cos x\,dx = e^{3x}\sin x - 3\int e^{3x}\sin x\,dx$$

Sostituendo: $$\int e^{3x}\sin x\,dx = -e^{3x}\cos x + 3e^{3x}\sin x - 9\int e^{3x}\sin x\,dx$$ L'integrale di partenza ricompare con coefficiente $-9$. Lo si porta a sinistra: $1 + 9 = 10$, $$10\int e^{3x}\sin x\,dx = e^{3x}(3\sin x - \cos x) + k \qquad \Longrightarrow \qquad \int e^{3x}\sin x\,dx = \frac{1}{10}e^{3x}(3\sin x - \cos x) + k$$

Controllo. $D\left[\frac{1}{10}e^{3x}(3\sin x - \cos x)\right] = \frac{1}{10}e^{3x}\left[3(3\sin x - \cos x) + (3\cos x + \sin x)\right] = \frac{1}{10}e^{3x}\cdot 10\sin x$ ✓.

Errori comuni

• In (a), scegliere $f = e^{-x}$: il polinomio verrebbe integrato e il grado salirebbe.
• In (b), al secondo passaggio scegliere $f = \cos x$: si ritorna all'integrale di partenza e si ottiene $I = I$.