Lezione 43Fine dei criteri per gli integrali impropri

Data: venerdì 12 dicembre 2025 · Videolezione: n. 44 della playlist ("Lezione 43")

Argomenti trattati

1. Criteri su $[a, +\infty[$ (fine): quando il corollario con $\frac{1}{x^\alpha}$ non basta ($\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\log x}$); calcolo di $\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x\log^\beta x}$; seconda famiglia di funzioni test $\frac{1}{x^\alpha\log^\beta x}$ e punto (A') del corollario; esercizio 5 del foglio.
2. Estensioni: intervalli $]-\infty, a]$, integrali su tutto $\mathbb{R}$ (due limiti indipendenti, non il limite simmetrico), funzioni $\le 0$; restano escluse le funzioni oscillanti come $\frac{\sin x}{x}$.
3. Criterio dell'integrale per le serie, con dimostrazione grafica: dimostra il carattere delle serie armoniche generalizzate.
4. Criteri su $]a, b]$ e $[a, b[$: funzioni test vicino a $0$ ($\alpha < 1$), corollario del confronto asintotico in $]0, b]$, esempi $\int_0^1\frac{3+\cos x}{x^a}$, $\int_0^1 e^{1/\sqrt x}$, $\int_0^1\log^4 x$; estensione a estremi qualsiasi.
5. Esercizi 8, 9, 10 del foglio nuovo; in fondo al PDF la dimostrazione del criterio per $\frac{1}{x^\alpha\lvert\log x\rvert^\beta}$ vicino a $0$.

Teoria

• Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →

Esercizi

• Esercizio 151 · integrale improprio con logaritmi e arcotangente — esercizio 5
• Esercizio 152 · integrali impropri su intervalli limitati — esercizi 8, 9, 10