Esercizio 126serie con 3 + sin n e il criterio della radice

Testo (Lezione 37, esercizio 3 del foglio di ricapitolazione). Studiare convergenza assoluta e semplice della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (3 + \sin n)\left[n^2\left(1 - \cos\left(\frac1n\right)\right)\right]^{\frac n3}$$

Passo 1: segno

Posto $a_n = (3 + \sin n)\left[n^2\left(1 - \cos\frac1n\right)\right]^{n/3}$:

• $3 + \sin n \ge 3 - 1 = 2 > 0$, perché $\sin n \ge -1$; anzi $2 \le 3 + \sin n \le 4$ $(\ast)$;
• $1 - \cos\frac1n > 0$ (per $n \ge 1$, $0 < \frac1n \le 1 < 2\pi$ e il coseno vale $1$ solo nei multipli di $2\pi$), quindi la parentesi quadra è positiva.

Quindi $a_n > 0$ e la serie è alternata, $\sum (-1)^n a_n$.

Problema: $3 + \sin n$ non ha limite (oscilla tra $2$ e $4$). Per Leibniz servirebbe la decrescenza di $a_n$, difficile da controllare con un fattore che oscilla; conviene tentare prima la convergenza assoluta.

Passo 2: togliere il fattore oscillante

$\sum |(-1)^n a_n| = \sum a_n$. Da $(\ast)$, moltiplicando per la parentesi positiva $b_n = \left[n^2\left(1 - \cos\frac1n\right)\right]^{n/3}$: $$2\,b_n \le a_n \le 4\,b_n$$ Per la conseguenza del confrontoSe definitivamente $0 \le C_1 b_n \le a_n \le C_2 b_n$ con $C_1, C_2 > 0$, allora le serie di $a_n$ e di $b_n$ hanno lo stesso carattere.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → con $C_1 = 2$ e $C_2 = 4$, $\sum a_n$ e $\sum b_n$ hanno lo stesso carattere. Basta studiare $\sum b_n$.

(Non si può dire "$a_n \sim$ qualcosa" togliendo $3 + \sin n$: il rapporto $\frac{a_n}{b_n} = 3 + \sin n$ non ha limite. La doppia disuguaglianza è proprio il sostituto dell'asintoticità.)

Passo 3: criterio della radice su $b_n$

C'è un esponente che contiene $n$: il criterio della radiceSe $\sqrt[n]{b_n} \to L$: con $L < 1$ la serie converge, con $L > 1$ diverge.Criteri del rapporto e della radice per le serie → lo elimina. $$\sqrt[n]{b_n} = \left[n^2\left(1 - \cos\frac1n\right)\right]^{\frac n3 \cdot \frac1n} = \left[n^2\left(1 - \cos\frac1n\right)\right]^{1/3}$$ Per $n \to +\infty$, $\frac1n \to 0$ e $1 - \cos y \sim \frac{y^2}{2}$ per $y \to 0$, quindi $$n^2\left(1 - \cos\frac1n\right) \sim n^2 \cdot \frac12 \cdot \frac{1}{n^2} = \frac12 \qquad \Longrightarrow \qquad L = \left(\frac12\right)^{1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]2} < 1$$ (perché $\sqrt[3]2 > 1$). La serie $\sum b_n$ converge, e quindi anche $\sum a_n$.

Conclusione

La serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.

Altra strada. Si poteva applicare la radice direttamente ad $a_n$: $\sqrt[n]{3 + \sin n}$ sta tra $\sqrt[n]2$ e $\sqrt[n]4$, che tendono entrambi a $1$, quindi per il teorema del confronto tende a $1$; e il resto è come sopra.

Errori comuni

• Scrivere $3 + \sin n \to$ qualcosa: non ha limite; si usa solo che è compreso tra $2$ e $4$.
• Tentare Leibniz con un fattore oscillante: la decrescenza non è garantita, mentre la convergenza assoluta chiude subito l'esercizio.