Esercizio 131tangente e altri integrali del tipo f' su f

Testo (Lezione 38, esercizio 4 del foglio 3-5 dicembre). Calcolare

$$\int \tan x\,dx, \qquad \int \frac{\sqrt{\log x}}{x}\,dx, \qquad \int \frac{\sinh x}{1 + \cosh^2 x}\,dx, \qquad \int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x} - 1}}\,dx$$

Tutti si fanno con la sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →: si cerca la funzione interna $f(x)$ e la sua derivata $f'(x)$.

(a) $\int \tan x\,dx$

Riscrivere. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. La derivata del denominatore è $D(\cos x) = -\sin x$: al numeratore c'è $\sin x$, cioè la derivata a meno del segno.

Sostituzione. $y = \cos x$, $dy = -\sin x\,dx$, quindi $\sin x\,dx = -dy$: $$\int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \frac{-dy}{y} = -\log|y| + k = -\log|\cos x| + k, \quad k \in \mathbb{R}$$ su ogni intervallo dove $\cos x \ne 0$.

Controllo. $D[-\log|\cos x|] = -\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos x}$ ✓ (la derivata di $\log|t|$ è $\frac1t$).

In generale (numeratore = derivata del denominatore): $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + k$$

(b) $\int \frac{\sqrt{\log x}}{x}\,dx$

Riconoscere. $\frac{\sqrt{\log x}}{x} = (\log x)^{1/2}\cdot\frac1x$, con $\frac1x = D(\log x)$.

Sostituzione. $y = \log x$, $dy = \frac1x\,dx$: $$\int \sqrt y\,dy = \int y^{1/2}\,dy = \frac{y^{\frac12 + 1}}{\frac12 + 1} + k = \frac{y^{3/2}}{3/2} + k = \frac23\,y^{3/2} + k = \frac23 \log^{3/2} x + k$$ (per $x \ge 1$, dove $\log x \ge 0$ e la radice è definita).

Controllo. $D\left[\frac23(\log x)^{3/2}\right] = \frac23\cdot\frac32(\log x)^{1/2}\cdot\frac1x = \frac{\sqrt{\log x}}{x}$ ✓.

(c) $\int \frac{\sinh x}{1 + \cosh^2 x}\,dx$

Riconoscere. Al denominatore $1 + (\cosh x)^2$, al numeratore $\sinh x = D(\cosh x)$: è la forma $\frac{f'}{1 + f^2}$, che porta all'arcotangente.

Sostituzione. $y = \cosh x$, $dy = \sinh x\,dx$: $$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \arctan y + k = \arctan(\cosh x) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$

In generale: $$\int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2}\,dx = \arctan(f(x)) + k$$

(d) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x} - 1}}\,dx$

Riconoscere. $e^{4x} = (e^{2x})^2$: sotto radice c'è $(e^{2x})^2 - 1$, la forma $\sqrt{y^2 - 1}$ del settore coseno iperbolico, con $y = e^{2x}$. La derivata di $e^{2x}$ è $2e^{2x}$: al numeratore c'è $e^{2x}$, manca solo il fattore costante $2$.

Aggiustare la costante. Si moltiplica e divide per $2$ (linearità): $$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{4x} - 1}}\,dx = \frac12\int \frac{2e^{2x}}{\sqrt{(e^{2x})^2 - 1}}\,dx$$

Sostituzione. $y = e^{2x}$, $dy = 2e^{2x}\,dx$: $$\frac12\int \frac{dy}{\sqrt{y^2 - 1}} = \frac12\,\text{settcosh}\,y + k = \frac12\,\text{settcosh}(e^{2x}) + k = \frac12\log\left(e^{2x} + \sqrt{e^{4x} - 1}\right) + k$$ Dominio: serve $e^{4x} - 1 > 0$, cioè $e^{4x} > 1$, cioè $x > 0$; allora $y = e^{2x} > 1$, come richiesto dalla formula del settcosh.

Errori comuni

• In (a), perdere il segno meno: $dy = -\sin x\,dx$, quindi $\sin x\,dx = -dy$.
• In (d), dimenticare il $\frac12$ che compensa il $2$ aggiunto.