Esercizio 146integrali definiti con 3 + radice

Testo (Lezione 41, esercizio 26, risolto in fondo al PDF). Calcolare

$$26.1 \ \int_0^1\frac{dx}{3 + \sqrt{4 - x^2}} \qquad\qquad 26.2 \ \int\frac{dx}{3 + \sqrt{x^2 - 4}}$$

Le radici $\sqrt{4 - x^2}$ e $\sqrt{x^2 - 4}$ si eliminano con le sostituzioni di Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →: $x = 2\sin t$ e $x = 2\cosh t$. Poi restano integrali di funzioni razionali di funzioni trigonometriche o esponenzialiCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →.

26.1

Sostituzione con cambio degli estremi. $x = 2\sin t$, $dx = 2\cos t\,dt$, $t = \arcsin\frac x2$:

• $x = 0 \Rightarrow t_0 = \arcsin 0 = 0$;
• $x = 1 \Rightarrow t_1 = \arcsin\frac12 = \frac\pi6$.

Per $t \in [0, \frac\pi6]$, $\cos t > 0$, quindi $\sqrt{4 - 4\sin^2 t} = 2\sqrt{1 - \sin^2 t} = 2\cos t$: $$\int_0^{\pi/6}\frac{2\cos t\,dt}{3 + 2\cos t}$$ Far comparire il denominatore: $2\cos t = (2\cos t + 3) - 3$, quindi $$\int_0^{\pi/6}\left[1 - \frac{3}{2\cos t + 3}\right] dt = \frac\pi6 - 3\int_0^{\pi/6}\frac{dt}{2\cos t + 3}$$ L'integrale rimasto: $s = \tan\frac t2$. $dt = \frac{2\,ds}{1 + s^2}$, $\cos t = \frac{1 - s^2}{1 + s^2}$: $$\int\frac{dt}{2\cos t + 3} = \int\frac{1}{2\,\frac{1 - s^2}{1 + s^2} + 3}\cdot\frac{2\,ds}{1 + s^2} = \int\frac{2\,ds}{2(1 - s^2) + 3(1 + s^2)} = \int\frac{2\,ds}{s^2 + 5}$$ Con $\int\frac{ds}{s^2 + R^2} = \frac1R\arctan\frac sR$ ($R = \sqrt5$): $$= \frac{2}{\sqrt5}\arctan\frac{s}{\sqrt5} + k = \frac{2}{\sqrt5}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt5}\tan\frac t2\right) + k$$ Risultato: $$\int_0^1\frac{dx}{3 + \sqrt{4 - x^2}} = \frac\pi6 - 3\left[\frac{2}{\sqrt5}\arctan\left(\frac{1}{\sqrt5}\tan\frac t2\right)\right]_0^{\pi/6} = \frac\pi6 - \frac{6}{\sqrt5}\arctan\left(\frac{\tan\frac{\pi}{12}}{\sqrt5}\right)$$ (in $t = 0$ l'arcotangente vale $0$). Con $\tan\frac\pi{12} = 2 - \sqrt3$ il valore è circa $0{,}2036$, controllato con un'integrazione numerica in Python.

26.2 (per $x \ge 2$)

Sostituzione. $x = 2\cosh t$ con $t \ge 0$, cioè $t = \text{settcosh}\frac x2$; $dx = 2\sinh t\,dt$, e $\sqrt{4\cosh^2 t - 4} = 2\sqrt{\cosh^2 t - 1} = 2\sinh t$ (perché $\sinh t \ge 0$ per $t \ge 0$): $$\int\frac{2\sinh t\,dt}{3 + 2\sinh t} = \int\left[1 - \frac{3}{2\sinh t + 3}\right] dt = t - 3\int\frac{dt}{2\sinh t + 3}$$ L'integrale rimasto: funzione di $e^t$ ed $e^{-t}$. $2\sinh t = e^t - e^{-t}$; si moltiplica sopra e sotto per $e^t$: $$\int\frac{dt}{e^t - e^{-t} + 3} = \int\frac{e^t\,dt}{e^{2t} + 3e^t - 1} = \int\frac{dy}{y^2 + 3y - 1} \qquad (y = e^t,\ dy = e^t\,dt)$$ Fratti semplici. $\Delta = 9 + 4 = 13 > 0$, radici $y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$, quindi $$y^2 + 3y - 1 = \left(y + \frac{3 - \sqrt{13}}{2}\right)\left(y + \frac{3 + \sqrt{13}}{2}\right)$$ $$\frac{1}{y^2 + 3y - 1} = \frac{A}{y + \frac{3 - \sqrt{13}}{2}} + \frac{B}{y + \frac{3 + \sqrt{13}}{2}}$$ Coefficiente di $y$: $A + B = 0$; termine noto: $A\cdot\frac{3 + \sqrt{13}}{2} + B\cdot\frac{3 - \sqrt{13}}{2} = 1$. Con $B = -A$: $A\cdot\frac{(3 + \sqrt{13}) - (3 - \sqrt{13})}{2} = A\sqrt{13} = 1$, quindi $A = \frac{1}{\sqrt{13}}$, $B = -\frac{1}{\sqrt{13}}$: $$\int\frac{dy}{y^2 + 3y - 1} = \frac{1}{\sqrt{13}}\log\left|\frac{y + \frac{3 - \sqrt{13}}{2}}{y + \frac{3 + \sqrt{13}}{2}}\right| + k$$ Risultato (con $y = e^t$, $t = \text{settcosh}\frac x2$, cioè $e^t = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$): $$\int\frac{dx}{3 + \sqrt{x^2 - 4}} = \text{settcosh}\frac x2 - \frac{3}{\sqrt{13}}\log\left|\frac{e^t + \frac{3 - \sqrt{13}}{2}}{e^t + \frac{3 + \sqrt{13}}{2}}\right| + k$$ (controllato con Python confrontando $G(5) - G(3)$ con l'integrale numerico su $[3, 5]$).

Errori comuni

• Usare $t = \tan\frac x2$ fin dall'inizio: prima si elimina la radice, poi si tratta la funzione trigonometrica che resta.
• In 26.1 dimenticare di cambiare gli estremi da $[0, 1]$ a $[0, \frac\pi6]$.