Lezione 39Integrazione per parti e prime funzioni razionali

Data: giovedì 4 dicembre 2025 · Videolezione: n. 40 della playlist ("Lezione 39")

Argomenti trattati

1. Formula di integrazione per parti (indefinita e definita) con dimostrazione; quando usarla: dopo aver scartato la sostituzione.
2. Tre classi di integrali per parti: $\log x$, $\arcsin x$, $\arctan x$ (esercizio 7); integrali notevoli $\sin^2$, $\cos^2$, $\sinh^2$, $\cosh^2$ come integrali circolari (esercizio 8); prodotti $x^n e^{\alpha x}$, $e^{\alpha x}\sin\beta x$ (esercizio 9).
3. Digressione su $\int \cos^n x\sin^m x\,dx$: esponenti pari (formule di bisezione, $\int\cos^4 x$), un esponente dispari (sostituzione, $\int\sin^3 x$).
4. Integrali definiti di funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici (esercizi 10 e 11).
5. Integrazione delle funzioni razionali (inizio): grado del numeratore minore di quello del denominatore; denominatore di grado 1; grado 2 con $\Delta > 0$ (fratti semplici, principio di identità dei polinomi) e $\Delta = 0$ (esercizi 12-14); primi casi con $\Delta < 0$.
6. Esercizi per casa risolti in fondo al PDF: $\int \cos^4 x\sin^2 x$, $\int \sin^4 x\cos^3 x$.

Teoria

• Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →
• Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →
• Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media → — funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici
• Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali →

Esercizi

• Esercizio 133 · integrali per parti di log x, arcsin x e arctan x — esercizio 7
• Esercizio 134 · quadrati e potenze di seno, coseno e funzioni iperboliche — esercizio 8
• Esercizio 135 · cos⁴ x sin² x e sin⁴ x cos³ x — per casa
• Esercizio 136 · per parti con x² e^-x ed e^3x sin x — esercizio 9
• Esercizio 137 · integrali definiti su intervalli simmetrici — esercizi 10 e 11
• Esercizio 138 · funzioni razionali con denominatore di grado 1 e 2 — esercizi 12, 13, 14