Esercizio 132x³ su 1 + x⁸ e integrale definito di x e^x2

Testo (Lezione 38, esercizi 5 e 6 del foglio 3-5 dicembre). Calcolare

$$5. \ \int \frac{x^3}{1 + x^8}\,dx \qquad\qquad 6. \ \int_1^3 x\,e^{x^2}\,dx$$

5. $\int \frac{x^3}{1 + x^8}\,dx$

Riconoscere. Non è evidente a prima vista. L'idea: $x^8 = (x^4)^2$, quindi il denominatore è $1 + (x^4)^2$, la forma $1 + y^2$ dell'arcotangente con $y = x^4$. E la derivata di $x^4$ è $4x^3$: al numeratore c'è $x^3$, manca solo la costante $4$.

Aggiustare la costante e sostituire. $y = x^4$, $dy = 4x^3\,dx$: $$\int \frac{x^3}{1 + x^8}\,dx = \frac14\int \frac{4x^3}{1 + (x^4)^2}\,dx = \frac14\int \frac{dy}{1 + y^2} = \frac14\arctan y + k = \frac14\arctan(x^4) + k, \quad k \in \mathbb{R}$$

Controllo. $D\left[\frac14\arctan(x^4)\right] = \frac14\cdot\frac{1}{1 + x^8}\cdot 4x^3 = \frac{x^3}{1 + x^8}$ ✓.

Come ci si arriva: con un esponente alto al denominatore e uno più basso al numeratore, si prova a scrivere il denominatore come $1 + (x^m)^2$ e si controlla se il numeratore è (a meno di costanti) la derivata di $x^m$: qui $m = 4$ e $D(x^4) = 4x^3$.

6. $\int_1^3 x\,e^{x^2}\,dx$

Per un integrale definito, di solito conviene:

1. calcolare l'integrale indefinito per trovare una primitiva;
2. usare il TFCI 1Se G è una primitiva della funzione continua f, l'integrale da a a b di f vale G(b) − G(a).Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →.

Passo 1: una primitiva. La funzione interna è $x^2$, con derivata $2x$; c'è solo $x$, quindi si moltiplica e divide per $2$. Con $y = x^2$, $dy = 2x\,dx$: $$\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int e^y\,dy = \frac12 e^y + k = \frac12 e^{x^2} + k$$ Una primitiva è $G(x) = \frac12 e^{x^2}$ (con $k = 0$).

Passo 2: TFCI 1. $$\int_1^3 x\,e^{x^2}\,dx = \left[\frac12 e^{x^2}\right]_{x=1}^{x=3} = \frac12 e^9 - \frac12 e^1 = \frac12\left(e^9 - e\right) \approx 4050$$

In alternativa, cambiando gli estremi (formula (1') di Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →): $x = 1 \mapsto y = 1$, $x = 3 \mapsto y = 9$, e $\frac12\int_1^9 e^y\,dy = \frac12(e^9 - e)$. Stesso risultato.

Controllo di plausibilità: l'integranda è positiva su $[1, 3]$, quindi l'integrale deve essere positivo ✓ ($e^9 > e$). È grande perché $x e^{x^2}$ vale circa $3e^9 \approx 24\,300$ in $x = 3$.

Errori comuni

• Usare l'arcotangente con $x^8$ come se fosse $(x^2)^2$: è $(x^4)^2$, e la derivata che serve è quella di $x^4$.
• Nel definito, cambiare variabile e tenere gli estremi $1$ e $3$: se si integra in $y$, gli estremi diventano $1$ e $9$.