Esercizio 69ordine di infinitesimo di log((2n²-4n+1)/(2n²+cos 3n))

Testo (Lezione 24, esercizio 15 del foglio). Sia

$$a_n = \log\left(\frac{2n^2 - 4n + 1}{2n^2 + \cos(3n)}\right)$$

• (a) determinare l'ordine di infinitesimo di $(a_n)$;
• (b) calcolare $\displaystyle\lim_n \left(\frac{2n^2 - 4n + 1}{2n^2 + \cos(3n)}\right)^{-2n}$.

Teoria: Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

(a) L'ordine di infinitesimo

L'argomento del logaritmo tende a 1

Sia $b_n = \frac{2n^2 - 4n + 1}{2n^2 + \cos(3n)}$. Numeratore e denominatore sono $2n^2 + o(n^2)$ ($\cos(3n)$ è limitato), quindi

$$\lim_n b_n = \lim_n \frac{2n^2}{2n^2} = 1 \qquad \Rightarrow \qquad \lim_n a_n = \log 1 = 0$$

$a_n$ è infinitesima.

La regola $\log b_n \sim b_n - 1$

Se $b_n \to 1$, si scrive $b_n = 1 + (b_n - 1)$ con $b_n - 1 \to 0$, e dal limite notevole $\log(1 + y) \sim y$:

$$a_n = \log(1 + (b_n - 1)) \sim b_n - 1$$

Si calcola $b_n - 1$ facendo il denominatore comune:

$$b_n - 1 = \frac{2n^2 - 4n + 1 - (2n^2 + \cos(3n))}{2n^2 + \cos(3n)} = \frac{-4n + 1 - \cos(3n)}{2n^2 + \cos(3n)}$$

(i $2n^2$ si cancellano). Ora:

• numeratore: $-4n + 1 - \cos(3n) = -4n + o(n) \sim -4n$ (il $1$ e il coseno limitato sono trascurabili rispetto a $n$);
• denominatore: $2n^2 + o(n^2) \sim 2n^2$.

Quindi

$$a_n \sim b_n - 1 \sim \frac{-4n}{2n^2} = -2 \cdot \frac1n$$

$a_n$ è infinitesima di ordine $\alpha = 1$ (con $\ell = -2$).

(b) Il limite della potenza

Base $b_n \to 1$, esponente $-2n \to -\infty$: forma $1^\infty$. Forma esponenziale:

$$b_n^{-2n} = e^{-2n\log b_n} = e^{-2n\,a_n}$$

Per il punto (a), $a_n \sim -\frac2n$, e nel prodotto si sostituisce:

$$\lim_n (-2n\,a_n) = \lim_n (-2n) \cdot \left(-\frac2n\right) = 4$$

Quindi il limite è $e^4 \approx 54{,}6$.

Verifica numerica. $n = 100$: $n\,a_n \approx -2{,}015$ e la potenza vale $\approx 56{,}3$; $n = 10\,000$: $n\,a_n \approx -2{,}0001$ e la potenza $\approx 54{,}61$ ($e^4 \approx 54{,}598$) ✓.

Errori comuni

• Sostituire $b_n$ con il suo limite $1$ dentro il logaritmo e concludere $a_n \sim \log 1 = 0$: "$\sim 0$" non ha senso; serve $\log b_n \sim b_n - 1$.
• Usare $\log(1 + y) \sim y$ con $y = b_n$: $y$ deve tendere a $0$, quindi $y = b_n - 1$.
• Dimenticare il $\cos(3n)$ al numeratore di $b_n - 1$: è limitato, quindi non cambia l'asintotico, ma va scritto.