Esercizio 142la sostituzione t = tan(x/2) solo dove serve

Testo (Lezione 41, esercizio 24.2). Calcolare

$$\int\frac{3 + 2\cos x}{\sin x}\,dx$$

È una funzione razionale di $\sin x$ e $\cos x$, quindi la sostituzione $t = \tan\frac x2$ funzionerebbe (vedi Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali →). Ma conviene usarla solo dove serve.

Spezzare l'integrale

Per la linearità: $$\int\frac{3 + 2\cos x}{\sin x}\,dx = 3\int\frac{dx}{\sin x} + 2\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$$

Primo pezzo. Già calcolato nell'esercizio 24 (Esercizio 141 · sostituzioni che portano a funzioni razionali) con $t = \tan\frac x2$: $$\int\frac{dx}{\sin x} = \log\left|\tan\frac x2\right| + k$$

Secondo pezzo. Il numeratore $\cos x$ è la derivata del denominatore $\sin x$: è del tipo $\frac{f'}{f}$. Con $y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$: $$\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{dy}{y} = \log|y| + k = \log|\sin x| + k$$

Risultato

$$\int\frac{3 + 2\cos x}{\sin x}\,dx = 3\log\left|\tan\frac x2\right| + 2\log|\sin x| + k$$

(Nel PDF il fattore $2$ davanti a $\log|\sin x|$ è stato dimenticato; il risultato qui sopra è stato verificato derivando con Python.)

Perché non sostituire tutto

Con $t = \tan\frac x2$ in tutto l'integrale si avrebbe $$\int\frac{3 + 2\,\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2}}\cdot\frac{2\,dt}{1 + t^2} = \int\frac{3(1 + t^2) + 2(1 - t^2)}{t(1 + t^2)}\,dt = \int\frac{t^2 + 5}{t(1 + t^2)}\,dt$$ una funzione razionale con denominatore di grado $3$, da scomporre in fratti semplici: si arriva allo stesso risultato, ma con molti più conti.

Errori comuni

• Usare $t = \tan\frac x2$ come primo tentativo: è l'ultima risorsa per le funzioni di seno e coseno.
• Perdere le costanti moltiplicative quando si spezza l'integrale (qui il $2$).