Lezione 20Asintoti obliqui, continuità e cambio di variabile

Data: venerdì 31 ottobre 2025 · Videolezione: n. 22 della playlist ("Lezione 20", 1h41)

Argomenti trattati

1. Fine degli esercizi del foglio 5: un limite con $\log(\cosh x)$ e $x^{\log x}$ (attenzione: $\log(\cosh x) \sim x$, non è trascurabile rispetto a $\sqrt x$); le funzioni periodiche non costanti non hanno limite a $\pm\infty$.
2. Asintoti obliqui: definizione, caratterizzazione con $m = \lim \frac{f(x)}{x}$ e $q = \lim [f(x) - mx]$; crescita lineare, sublineare, superlineare; esempio di crescita lineare senza asintoto obliquo.
3. Funzioni continue: definizione, punti isolati, perché non serve più $x \ne x_0$; permanenza del segno e operazioni; continuità delle funzioni elementari (dimostrazione per $\sin x$ con la prostaferesi).
4. Teorema sul cambiamento di variabile nei limiti (limite di funzioni composte), con osservazioni e dimostrazione.

Teoria

• Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione → — paragrafo "Asintoti obliqui"
• Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →
• Limite di funzioni composte (cambio di variabile)Se g(x) → y0 e f(y) → ℓ per y → y0, allora f(g(x)) → ℓ, purché g(x) ≠ y0 vicino a x0 (ipotesi inutile se y0 = ±∞ o f è continua in y0): si sostituisce y = g(x).Limite di funzioni composte (cambio di variabile) →

Esercizi

• Esercizio 56 · limite con log(cosh x), x^log x) e arcotangente — esercizio 9
• Esercizio 57 · le funzioni periodiche non costanti non hanno limite all'infinito — esercizio 10
• Esercizio 58 · asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo — esercizio 1 del foglio nuovo