Esercizio 137integrali definiti su intervalli simmetrici

Testo (Lezione 39, esercizi 10 e 11 del foglio). Calcolare

$$10. \ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \left(\cos^4 x\sin^3 x - 3\sin x + 8\cos x\right) dx \qquad\qquad 11. \ \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left(\cos x\cdot|\sin x| - 3\sin^7 x + x^3\cosh x\right) dx$$

Idea: entrambi gli intervalli sono simmetrici rispetto a $0$. Per la proprietà delle funzioni pari e dispari su intervalli simmetriciSu $[-a, a]$ l'integrale di una funzione dispari è 0, quello di una pari è il doppio dell'integrale su $[0, a]$.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media →, conviene spezzare l'integranda (linearità) e riconoscere la parità di ogni addendo. Regole: pari·pari $=$ pari, dispari·dispari $=$ pari, pari·dispari $=$ dispari; una potenza dispari di una funzione dispari è dispari.

10.

Parità dei tre addendi:

• $\cos^4 x\sin^3 x$: $\cos^4$ è pari (il coseno è pari), $\sin^3$ è dispari (potenza dispari del seno, che è dispari): pari·dispari $=$ dispari;
• $-3\sin x$: dispari;
• $8\cos x$: pari.

I due addendi dispari danno integrale $0$ (senza calcolarli!). Resta $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} 8\cos x\,dx = 2\cdot 8\int_0^{\pi/4}\cos x\,dx = 16\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/4} = 16\left(\frac{\sqrt2}{2} - 0\right) = 8\sqrt2$$

Perché è un vantaggio: $\int \cos^4 x\sin^3 x\,dx$ si saprebbe calcolare (esponente dispari), ma è lungo; la simmetria dice subito che sull'intervallo simmetrico vale $0$.

11.

Parità:

• $\cos x\cdot|\sin x|$: $\cos$ è pari e $|\sin x|$ è pari ($|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|$): pari;
• $-3\sin^7 x$: potenza dispari del seno: dispari;
• $x^3\cosh x$: $x^3$ dispari, $\cosh$ pari: dispari.

Restano solo il primo addendo: $$\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos x\,|\sin x|\,dx = 2\int_0^{\pi/3}\cos x\,|\sin x|\,dx = 2\int_0^{\pi/3}\cos x\sin x\,dx$$ perché su $[0, \frac\pi3]$ è $\sin x \ge 0$, quindi $|\sin x| = \sin x$. (Il modulo si toglie dopo essersi ridotti a $[0, \frac\pi3]$: su $[-\frac\pi3, 0]$ il seno è negativo.)

Primitiva per sostituzione: $y = \sin x$, $dy = \cos x\,dx$, $\int y\,dy = \frac12 y^2$, quindi $\int \cos x\sin x\,dx = \frac12\sin^2 x + k$. Allora $$2\int_0^{\pi/3}\cos x\sin x\,dx = 2\cdot\frac12\Big[\sin^2 x\Big]_0^{\pi/3} = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 - 0 = \frac34$$

(Entrambi i risultati, $8\sqrt2$ e $\frac34$, sono stati controllati con Python.)

Errori comuni

• Togliere il modulo su tutto $[-\frac\pi3, \frac\pi3]$ scrivendo $|\sin x| = \sin x$: è falso per $x < 0$.
• Pensare che $\cos^4 x\sin^3 x$ sia pari perché "il coseno è pari": conta il prodotto, e $\sin^3$ è dispari.