Esercizio 73quattro limiti di ricapitolazione con logaritmi, radici e coseni

Testo (Lezione 26, esercizi 18-21 del foglio 31/10 - 7/11). Calcolare

1. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{2x^{1/x} - 6e^{-1/x} + 3x}{\log(x^2 + x) - \log x}$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt x\,\arctan\left(e^{1 - \cos x} - 1\right)}{2\sin x + \sqrt[4]{x} + 5^{-1/x}}$
3. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{4x^2 - x} - \sqrt{4x^2 + x + 3}\right)$
4. $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\sqrt{1 - \cos x} - \sqrt{1 + \cos x}}$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo →.

1. Il denominatore sembra $+\infty - \infty$

Per $x \to 0^+$: $\log(x^2 + x) \to -\infty$ e $\log x \to -\infty$, quindi il denominatore è $-\infty - (-\infty)$, cioè una forma $+\infty - \infty$. Ma con le proprietà del logaritmo si scrive come un solo logaritmo:

$$\log(x^2 + x) - \log x = \log\frac{x^2 + x}{x} = \log(1 + x) \sim x$$

(limite notevole: $\log(1 + x) \sim x$ per $x \to 0$).

Numeratore. Per la gerarchia degli infinitesimi in $0^+$, $x^{1/x}$ e $e^{-1/x}$ sono $o(x)$, quindi $\text{NUM} = 3x + o(x) \sim 3x$.

$$L = \lim_{x \to 0^+} \frac{3x}{x} = 3$$

Verifica numerica. $x = 0{,}01$: $\approx 3{,}015$; $x = 0{,}001$: $\approx 3{,}0015$ ✓.

2. Un prodotto con un'arcotangente composta

Numeratore $= F_1 \cdot F_2$ con $F_1 = x^{1/2}$ e $F_2 = \arctan(e^{1 - \cos x} - 1)$. Per $F_2$ si usano i limiti notevoli "a catena", dall'esterno verso l'interno, controllando ogni volta che l'argomento tenda a $0$:

• $y = e^{1 - \cos x} - 1 \to e^0 - 1 = 0$, quindi $\arctan y \sim y$: $F_2 \sim e^{1 - \cos x} - 1$;
• $t = 1 - \cos x \to 0$, quindi $e^t - 1 \sim t$: $F_2 \sim 1 - \cos x$;
• $1 - \cos x \sim \frac12 x^2$.

Per la transitività dell'asintoticità, $F_2 \sim \frac12 x^2$, e

$$\text{NUM} \sim x^{1/2} \cdot \frac12 x^2 = \frac12 x^{5/2}$$

Denominatore. $2\sin x = 2x + o(x)$; $5^{-1/x}$ è $o$ di ogni potenza; in $0^+$ comanda la potenza con esponente minore, che è $x^{1/4}$ ($\frac14 < 1$):

$$\text{DEN} = x^{1/4} + o(x^{1/4}) \sim x^{1/4}$$

$$L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac12 x^{5/2}}{x^{1/4}} = \lim_{x \to 0^+} \frac12 x^{5/2 - 1/4} = 0$$

perché $\frac52 - \frac14 = \frac94 > 0$.

3. Differenza di radici per $x \to -\infty$

I due termini sono asintotici: $\sqrt{4x^2 - x} \sim \sqrt{4x^2} = 2|x|$, e lo stesso per l'altro. Serve la razionalizzazione:

$$\sqrt{4x^2 - x} - \sqrt{4x^2 + x + 3} = \frac{(4x^2 - x) - (4x^2 + x + 3)}{\sqrt{4x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + x + 3}} = \frac{-2x - 3}{\sqrt{4x^2 - x} + \sqrt{4x^2 + x + 3}}$$

Attenzione al segno: $\sqrt{4x^2} = 2|x|$, e per $x < 0$ si ha $|x| = -x$. Quindi ogni radice è $\sim -2x$ (che è positivo), e il denominatore è $\sim -4x$. Il numeratore è $-2x + o(x) \sim -2x$:

$$L = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{-4x} = \frac12$$

(Altro modo: si pone $y = -x \to +\infty$ e il limite diventa $\lim_{y \to +\infty}\left(\sqrt{4y^2 + y} - \sqrt{4y^2 - y + 3}\right)$, che si razionalizza senza problemi di segno.)

Verifica numerica. $x = -1000$: $\approx 0{,}49925$; $x = -10^6$: $\approx 0{,}4999993$ ✓.

4. Il limite in $\frac{\pi}{2}^+$

Il numeratore. $\sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$. Per $x \to \frac{\pi}{2}^+$ (appena a destra di $\frac{\pi}{2}$) il coseno è negativo, quindi $|\cos x| = -\cos x$.

Cambio di variabile: $y = -\cos x \to 0^+$. Allora $\cos x = -y$ e

$$L = \lim_{y \to 0^+} \frac{y}{\sqrt{1 + y} - \sqrt{1 - y}}$$

Il denominatore è una differenza di termini che tendono entrambi a $1$: con il limite notevole $(1 + t)^\alpha = 1 + \alpha t + o(t)$ e $\alpha = \frac12$:

$$\sqrt{1 + y} = 1 + \frac12 y + o(y), \qquad \sqrt{1 - y} = 1 - \frac12 y + o(y)$$

$$\text{DEN} = \frac12 y + \frac12 y + o(y) = y + o(y) \sim y$$

(gli $1$ si cancellano, i termini in $y$ no). Quindi $L = \lim_{y \to 0^+} \frac{y}{y} = 1$. (Si poteva anche razionalizzare.)

Verifica numerica. $x = \frac{\pi}{2} + 0{,}01$: $\approx 0{,}99999$ ✓.

Il problema che resta aperto

Che cosa succede se in una forma $\frac00$, dopo le sostituzioni, al numeratore o al denominatore resta solo un o-piccolo? Esempio: $\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{o(x)}{x^3}$. Serve uno sviluppo più preciso: è l'argomento dell'Esercizio 74 · limiti con gli sviluppi di Mac-Laurin.

Errori comuni

• $\sqrt{x^2} = x$: è $|x|$, e per $x \to -\infty$ è $-x$.
• $\sqrt{1 - \sin^2 x} = \cos x$: è $|\cos x|$, che vicino a $\frac{\pi}{2}^+$ vale $-\cos x$.
• Scegliere $x$ come termine principale al denominatore del limite 2: in $0^+$ vince l'esponente più basso, $x^{1/4}$.