Esercizio 134quadrati e potenze di seno, coseno e funzioni iperboliche

Testo (Lezione 39, esercizio 8 del foglio). Calcolare

$$\int \sin^2 x\,dx, \quad \int \cos^2 x\,dx, \quad \int \sinh^2 x\,dx, \quad \int \cosh^2 x\,dx, \quad \int \cos^4 x\,dx, \quad \int \sin^3 x\,dx$$

(a) $\int \cos^2 x\,dx$: integrale circolare

Per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → con $f = \cos x$, $g' = \cos x$ ($f' = -\sin x$, $g = \sin x$): $$\int \cos x \cdot \cos x\,dx = \cos x\sin x - \int(-\sin x)\sin x\,dx = \cos x\sin x + \int \sin^2 x\,dx$$ Con $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$\int \cos^2 x\,dx = \cos x\sin x + \int 1\,dx - \int \cos^2 x\,dx = \cos x\sin x + x - \int \cos^2 x\,dx$$ L'integrale cercato compare a destra con il segno meno: si porta a sinistra. $$2\int \cos^2 x\,dx = x + \sin x\cos x + k \qquad \Longrightarrow \qquad \int \cos^2 x\,dx = \frac{x + \sin x\cos x}{2} + k$$

(b) $\int \sin^2 x\,dx$

Si può rifare lo stesso conto, oppure usare (a): $\int \sin^2 x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\,dx = x - \frac{x + \sin x\cos x}{2} + k$, cioè $$\int \sin^2 x\,dx = \frac{x - \sin x\cos x}{2} + k$$

(c) $\int \sinh^2 x\,dx$

Per parti con $f = \sinh x$, $g' = \sinh x$ ($f' = \cosh x$, $g = \cosh x$): $$\int \sinh x \cdot \sinh x\,dx = \sinh x\cosh x - \int \cosh^2 x\,dx$$ Dalla relazione fondamentale $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ segue $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$: $$\int \sinh^2 x\,dx = \sinh x\cosh x - \int (1 + \sinh^2 x)\,dx = \sinh x\cosh x - x - \int \sinh^2 x\,dx$$ Di nuovo circolare: $$2\int \sinh^2 x\,dx = \sinh x\cosh x - x + k \qquad \Longrightarrow \qquad \int \sinh^2 x\,dx = \frac{\sinh x\cosh x - x}{2} + k$$

(d) $\int \cosh^2 x\,dx$

Da (c): $\int \cosh^2 x\,dx = \int (1 + \sinh^2 x)\,dx = x + \frac{\sinh x\cosh x - x}{2} + k$, cioè $$\int \cosh^2 x\,dx = \frac{\sinh x\cosh x + x}{2} + k$$

Attenzione alla differenza di segno con seno e coseno: viene da $\cosh^2 - \sinh^2 = 1$ invece di $\cos^2 + \sin^2 = 1$.

(e) $\int \cos^4 x\,dx$: esponente pari

Vedi il metodo in Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →: esponente pari $\Rightarrow$ formula di bisezione $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$. $$\int \cos^4 x\,dx = \int\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2 dx = \frac14\int\left(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x\right) dx = \frac14 x + \frac12\int \cos 2x\,dx + \frac14\int\cos^2 2x\,dx$$

• Con $y = 2x$, $dy = 2\,dx$: $\int \cos 2x\,dx = \frac12\int\cos y\,dy = \frac12\sin 2x$.
• Con la stessa sostituzione e (a): $\int \cos^2 2x\,dx = \frac12\int\cos^2 y\,dy = \frac12\cdot\frac{y + \sin y\cos y}{2} = \frac{2x + \sin 2x\cos 2x}{4}$.

$$\int \cos^4 x\,dx = \frac14 x + \frac14\sin 2x + \frac{1}{16}\left(2x + \sin 2x\cos 2x\right) + k$$ (che si può semplificare in $\frac38 x + \frac14\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + k$, usando $\sin 2x\cos 2x = \frac12\sin 4x$; verificato derivando con Python).

(f) $\int \sin^3 x\,dx$: esponente dispari

Esponente dispari $\Rightarrow$ si stacca un $\sin x$ e il resto si scrive con il coseno: $$\int \sin^3 x\,dx = \int \sin^2 x\cdot\sin x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx$$ Con $y = \cos x$, $dy = -\sin x\,dx$: $$= -\int (1 - y^2)\,dy = -y + \frac{y^3}{3} + k = -\cos x + \frac13\cos^3 x + k$$

Errori comuni

• Negli integrali circolari, dimenticare di dividere anche la costante: si scrive di nuovo $k$, perché $\frac k2$ è ancora una costante arbitraria.
• Confondere i segni tra trigonometriche e iperboliche in (c) e (d).