Lezione 41Funzioni irrazionali e integrali impropri

Data: mercoledì 10 dicembre 2025 · Videolezione: n. 42 della playlist ("Lezione 41")

Argomenti trattati

1. Ultime applicazioni delle funzioni razionali: la sostituzione $t = \tan\frac x2$ va usata solo su integrali semplici (esercizio 24.2); radici di $x$ con indici diversi, $y = \sqrt[N]x$ con $N$ = mcm degli indici (esercizio 23).
2. Funzioni irrazionali: $\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$ con il completamento dei quadrati (esercizi 25.1 e 25.2); $\int\sqrt{ax^2 + bx + c}\,dx$ ricondotto a $\sqrt{R^2 - x^2}$, $\sqrt{x^2 + R^2}$, $\sqrt{x^2 - R^2}$ con le sostituzioni $x = R\sin t$, $R\sinh t$, $R\cosh t$; area del cerchio $\pi R^2$; esercizi 25.3, 25.4, 26.
3. Esercizio 27: integrale definito e primitive di una funzione con il modulo; come scegliere la costante perché la primitiva sia continua.
4. Integrali impropri (par. 8, inizio): definizione su intervalli illimitati e per funzioni illimitate vicino a un estremo; convergenza, divergenza, non esistenza; esempio di calcolo e l'errore frequente.

Teoria

• Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali → — $t = \tan\frac x2$ solo dove serve
• Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →
• Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → — primitive di funzioni definite a tratti
• Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →

Esercizi

• Esercizio 142 · la sostituzione t = tan(x/2) solo dove serve — esercizio 24.2
• Esercizio 143 · integrali con radici di x di indici diversi — esercizio 23
• Esercizio 144 · uno su radice di un polinomio di secondo grado — esercizi 25.1 e 25.2
• Esercizio 145 · radici di polinomi di secondo grado e area del cerchio — area del cerchio, esercizi 25.3 e 25.4
• Esercizio 146 · integrali definiti con 3 + radice — esercizio 26
• Esercizio 147 · integrale e primitive di una funzione con il modulo — esercizio 27
• Esercizio 148 · un integrale improprio su un intervallo illimitato