Esercizio 116criterio della radice con 1 meno coseno

Testo (Lezione 35, esercizio 8 del foglio). Discutere il carattere della serie

$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac1n\left[1 - \cos\left(\frac{1}{n^a}\right)\right]^n \qquad \text{per } a \ge 0$$

Passo 1: segno

$a_n = \frac1n\left[1 - \cos\left(\frac{1}{n^a}\right)\right]^n \ge 0$ per ogni $n \ge 1$, perché $\cos t \le 1$ e quindi $1 - \cos t \ge 0$. Si possono usare i criteri per le serie a termini non negativi.

Passo 2: quale criterio

Di solito un addendo della forma $a_n = (b_n)^{c_n}$ si riscrive in forma esponenziale, $a_n = e^{c_n \log b_n}$. Però qui l'esponente è proprio $c_n = n$: quando c'è una potenza $n$-esima, conviene pensare al criterio della radice $n$-esimaSe $a_n > 0$ e $\sqrt[n]{a_n} \to L$: con $L < 1$ la serie converge, con $L > 1$ diverge, con $L = 1$ non si conclude.Criteri del rapporto e della radice per le serie →, perché $\sqrt[n]{(\ldots)^n} = (\ldots)$.

Passo 3: il limite della radice

$$L = \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{1/n}} \cdot \left[1 - \cos\left(\frac{1}{n^a}\right)\right]^{n/n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{1/n}} \cdot \left[1 - \cos\left(\frac{1}{n^a}\right)\right]$$

Primo fattore. $n^{1/n} = e^{\frac1n \log n}$, e $\frac{\log n}{n} \to 0$ per la gerarchia degli infinitiPer $n \to +\infty$ il logaritmo cresce più lentamente di qualunque potenza: $\log n / n \to 0$.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →. Quindi $n^{1/n} \to e^0 = 1$ e $\frac{1}{n^{1/n}} \to 1$.

Secondo fattore, due casi:

• $a > 0$: $\frac{1}{n^a} \to 0$, quindi $\cos\left(\frac{1}{n^a}\right) \to \cos 0 = 1$ e $1 - \cos\left(\frac{1}{n^a}\right) \to 0$.
• $a = 0$: $\frac{1}{n^0} = 1$, e il fattore è la costante $1 - \cos 1$.

Quindi

$$L = \begin{cases} 1 \cdot 0 = 0 & a > 0 \\ 1 \cdot (1 - \cos 1) = 1 - \cos 1 & a = 0 \end{cases}$$

In entrambi i casi $L < 1$: per $a > 0$ è ovvio, per $a = 0$ perché $\cos 1 \approx 0{,}54 > 0$, quindi $1 - \cos 1 \approx 0{,}46 < 1$.

Conclusione

Per il criterio della radice, la serie converge per ogni $a \ge 0$.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac1n$ nella radice: anche lui va sotto radice $n$-esima, e $\sqrt[n]{\frac1n} = \frac{1}{n^{1/n}} \to 1$ (non $0$).
• Pensare che $n^{1/n} \to +\infty$: la base cresce ma l'esponente va a zero, e vince l'esponente: il limite è $1$.