Limite di funzioni composte (cambio di variabile)

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Lezioni 20-21. Prerequisiti: Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni, Funzioni continue.

Molti limiti si calcolano "sostituendo": per esempio, per $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ si pone $y = -x^2$ , si osserva che $y \to -\infty$ e si calcola $\lim_{y \to -\infty} e^y = 0$ . Il teorema che segue dice quando questo procedimento è lecito.

Enunciato

Teorema (cambio di variabile nei limiti). Siano $f$ definita definitivamente per $y \to y_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ , e $g$ tale che $g$ e $f \circ g$ siano definite definitivamente per $x \to x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ . Se

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = y_0$ ;

$\displaystyle\lim_{y \to y_0} f(y) = \ell \in \overline{\mathbb{R}}$ ;

$g(x) \ne y_0$ definitivamente per $x \to x_0$ ;

allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \ell$ .

L'ipotesi 3 non serve se $y_0 = \pm\infty$ , oppure se $y_0 \in \mathbb{R}$ e $f$ è continua in $y_0$ .

In pratica la tesi si scrive come una sostituzione:

$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) \ \underset{\substack{y = g(x) \\ y_0 = \lim_{x \to x_0} g(x)}}{=} \ \lim_{y \to y_0} f(y)$

Perché serve l'ipotesi 3

Esempio: $g(x) = 0$ per ogni $x$ (costante) e

$f(y) = \begin{cases} 1 & y \ne 0 \\ 0 & y = 0 \end{cases}$

Allora $g(x) \to 0 = y_0$ e $\lim_{y \to 0} f(y) = 1$ , ma $f(g(x)) = f(0) = 0$ per ogni $x$ , quindi $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = 0 \ne 1$ . Il problema è che $g$ "cade" proprio su $y_0$ , dove il valore di $f$ non c'entra con il limite. L'ipotesi 3 lo esclude; se $f$ è continua in $y_0$ il problema non c'è, perché $f(y_0) = \ell$ .

Conseguenze

Composizione di funzioni continue. Se $g$ è continua in $x_0$ e $f$ è continua in $y_0 = g(x_0)$ , allora $f \circ g$ è continua in $x_0$ : per il teorema (senza ipotesi 3, perché $f$ è continua) $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f(g(x_0))$ . Quindi ogni funzione costruita componendo funzioni elementari è continua nel suo dominio: per esempio $\sin(e^x)$ è continua in $\mathbb{R}$ .

Il viceversa, in generale, è falso. Se esiste $\lim_{x \to x_0} f(g(x))$ non è detto che esista $\lim_{y \to y_0} f(y)$ . Esempio: $g(x) = x^2$ , $x_0 = 0$ , $y_0 = 0$ , e $f(y) = 1$ per $y > 0$ , $f(y) = -1$ per $y < 0$ . Allora $f(g(x)) = f(x^2) = 1$ per $x \ne 0$ , che tende a $1$ ; ma $\lim_{y \to 0} f(y)$ non esiste (limite destro $1$ , sinistro $-1$ ): $g(x) = x^2$ si avvicina a $0$ solo da destra e "non vede" la parte sinistra di $f$ .

Se $g$ è iniettiva definitivamente per $x \to x_0$ (per esempio strettamente monotona), allora vale sempre, senza ipotesi:

$\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{y \to y_0} f(y)$

nel senso che uno esiste se e solo se esiste l'altro, e sono uguali. Perché: $g$ strettamente monotona assume ogni valore al più una volta, quindi l'ipotesi 3 vale; per il verso opposto si applica il teorema a $f \circ g$ e a $g^{-1}$ : $f = (f \circ g) \circ g^{-1}$ .

Il limite "salta dentro" (lezione 21)

Due casi in cui l'ipotesi 3 non serve, e il teorema si legge come "il limite entra dentro $f$ ":

$y_0 \in \mathbb{R}$ e $f$ continua in $y_0$ : $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \lim_{y \to y_0} f(y) = f(y_0) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right)$ È la giustificazione di quello che si faceva già con le successioni ("le funzioni elementari passano dentro il limite"), ora dimostrata.
$y_0 = \pm\infty$ , con la convenzione di scrivere $f(\pm\infty)$ per $\lim_{y \to \pm\infty} f(y)$ (per esempio $e^{+\infty} = +\infty$ , $e^{-\infty} = 0$ , $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$ ): $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to x_0} g(x)\right)$

Esempi

Un esponenziale. Per $x \to +\infty$ l'esponente $\frac{5x^2 - 6x}{x^2 + 2} \sim \frac{5x^2}{x^2} = 5$ , e l'esponenziale è continua in $5$ : $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{5x^2 - 6x}{x^2 + 2}} = e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 6x}{x^2 + 2}} = e^5$

La gerarchia con la forma esponenziale. Per $a > 1$ e $\alpha > 0$ , scrivendo $x^\alpha = a^{\log_a(x^\alpha)} = a^{\alpha\log_a x}$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{a^x} = \lim_{x \to +\infty} a^{\alpha\log_a x - x} = a^{\lim_{x \to +\infty}(\alpha\log_a x - x)} = a^{-\infty} = 0$ (l'esponente tende a $-\infty$ perché $\log_a x = o(x)$ ), cioè $x^\alpha = o(a^x)$ per $x \to +\infty$ . Allo stesso modo, con $x^x = a^{x\log_a x}$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^x} = a^{\lim_{x \to +\infty}(x - x\log_a x)} = a^{-\infty} = 0$

La gerarchia anche per $x \to x_0$ finito. La gerarchia degli infiniti vale per $x \to +\infty$ , ma con un cambio di variabile si usa anche altrove. Per esempio, per $x \to -1^-$ si ha $-\frac{1}{x + 1} \to +\infty$ , e ponendo $y = -\frac{1}{x+1}$ un limite in $-1^-$ diventa un limite per $y \to +\infty$ (vedi Esercizio 59 · limiti in -1 con e¹/(x+1)) e log⁵ del modulo).

Dimostrazione

Si usa il teorema ponte. Si prende una successione $(x_n)$ nel dominio di $f \circ g$ , con $x_n \ne x_0$ e $x_n \to x_0$ ; si deve dimostrare che $f(g(x_n)) \to \ell$ .

Per l'ipotesi 1 e il teorema ponte (verso " $\Rightarrow$ "), la successione $y_n = g(x_n)$ tende a $y_0$ .
Per l'ipotesi 3, $y_n = g(x_n) \ne y_0$ definitivamente per $n \to +\infty$ .
Quindi $(y_n)$ è una successione ammessa per il limite di $f$ in $y_0$ , e per l'ipotesi 2 e il teorema ponte $f(y_n) \to \ell$ , cioè $f(g(x_n)) \to \ell$ .

Siccome $(x_n)$ era qualunque, per il teorema ponte (verso " $\Leftarrow$ ") $\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \ell$ ∎.

Quando l'ipotesi 3 non serve. Se $y_0 = \pm\infty$ , la condizione $y_n \ne y_0$ è automatica (i $y_n$ sono numeri reali). Se $f$ è continua in $y_0$ , il teorema ponte per $f$ vale anche con successioni che toccano $y_0$ (vedi Funzioni continue).

Errori comuni

Sostituire senza calcolare dove va la nuova variabile: il nuovo limite è per $y \to y_0 = \lim g(x)$ , non per $y \to x_0$ .
Dimenticare l'ipotesi 3 quando $f$ non è continua in $y_0$ (raro negli esercizi, ma succede con funzioni definite a pezzi).