Lezione 17Esercizi di ricapitolazione e intorni

Data: lunedì 27 ottobre 2025 · Videolezione: n. 19 della playlist ("Lezione 17", 1h44)

Argomenti trattati

1. Esercizi rimasti dal foglio vecchio: confronto tra $e^{n^2}$ e $n^n$ scrivendo tutto in forma esponenziale (la gerarchia non si applica a $e^{n^2}$); dominio e segno di una funzione con una potenza a base ed esponente variabili, $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\log f(x)}$.
2. Limiti di successioni (foglio nuovo): differenze di radici, quando basta raccogliere (termini dello stesso ordine) e quando serve la razionalizzazione (termini asintotici); $\sqrt[n]{a_n}$ con il criterio del rapporto o con la forma esponenziale; il logaritmo conserva l'asintoticità, l'esponenziale no; coefficiente binomiale per un termine irregolare limitato dal basso.
3. Funzioni (foglio nuovo): disequazioni lineari in seno e coseno $a\sin t + b\cos t \ge c$ con il metodo geometrico e con quello algebrico; disequazioni miste risolte graficamente.
4. Limiti di funzioni (inizio): l'idea con gli esempi $e^x$ e $\log x$, la retta estesa $\overline{\mathbb{R}}$, gli intorni di un punto reale e di $\pm\infty$.

Teoria

• Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → — idea e intorni
• Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → — paragrafo 8, la razionalizzazione
• Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo → — logaritmo ed esponenziale e l'asintoticità
• Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse → — disequazioni lineari in seno e coseno

Esercizi

• Esercizio 45 · confronto tra eⁿ² e nⁿ — esercizio 16 del foglio vecchio
• Esercizio 46 · dominio e segno di (1 - (x+1)^x2-1))^(-π/4) - 1 — esercizio 3 del foglio vecchio sulle funzioni
• Esercizio 47 · differenze di radici e razionalizzazione — esercizi 1, 2 e 5 sui limiti
• Esercizio 48 · radice n-esima, esponenziali e coefficiente binomiale — esercizi 3, 4 e 6 sui limiti
• Esercizio 49 · dominio con settcosh e una disequazione trigonometrica lineare — esercizio 1 sulle funzioni
• Esercizio 50 · dominio e segno di (e^x-5) + x)^√3 - 1 — esercizio 2 sulle funzioni