Lezione 36Fine delle serie e integrale definito

Data: venerdì 28 novembre 2025 · Videolezione: n. 37 della playlist ("Lezione 36")

Argomenti trattati

1. Esercizi sulle serie (fine del foglio settimanale): esercizio 14 (parametro in $\alpha^n$: rapporto sui moduli, casi $|\alpha| = 1$ a parte, Leibniz), esercizio 15 ($(-1)^{n^2+1} = (-1)^{n+1}$, decrescenza con la derivata). Forme equivalenti di $(-1)^n$: $\cos(n\pi)$, $\sin\frac{n\pi}{2}$. Il prodotto di funzioni positive crescenti è crescente.
2. Capitolo 6, calcolo integrale (par. 2 e 3): trapezoide di $f$; somme di Cauchy-Riemann e definizione di integrale definito; notazione e variabile muta; significato geometrico (area con segno); definizione equivalente con somme inferiori e superiori; le definizioni non sono operative.
3. Integrale della funzione costante; la funzione di Dirichlet è limitata ma non integrabile; Teorema 1: sono integrabili le funzioni continue (anche con un numero finito di discontinuità), monotone, definite a tratti.
4. Fine lezione: la serie con $\sin\frac{n\pi}{2}$ risolta.

Teoria

• Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile → — come dimostrare la decrescenza, forme equivalenti di $(-1)^n$
• Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →

Esercizi

• Esercizio 121 · serie con αⁿ, arcotangente e logaritmo — esercizio 14 del foglio
• Esercizio 122 · serie con (-1)ⁿ²+1) e potenze del logaritmo — esercizio 15
• Esercizio 123 · serie con sin(nπ/2) e 2^(α log n) — esempio di fine lezione