Esercizio 62sin(e^-x) su e^-x a più e meno infinito

Testo (Lezione 22, esercizio 7 del foglio). Calcolare

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}}$$

Teoria: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →, paragrafo "Con le funzioni composte".

L'idea

L'espressione ha la forma $\frac{\sin y}{y}$ con $y = e^{-x}$. Il limite notevole $\frac{\sin y}{y} \to 1$ vale solo per $y \to 0$. Quindi la prima cosa da capire è dove va $y = e^{-x}$ nei due casi: la stessa espressione ha comportamenti completamente diversi.

1. $x \to +\infty$

$-x \to -\infty$, quindi $y = e^{-x} \to 0^+$. Con il cambio di variabile $y = e^{-x}$ (strettamente monotona, quindi lecito):

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} = \lim_{y \to 0^+} \frac{\sin y}{y} = 1$$

per il limite notevole del seno.

Detto con l'asintoticità: $e^{-x} \to 0$, quindi $\sin(e^{-x}) \sim e^{-x}$ per $x \to +\infty$, cioè $\sin(e^{-x}) = e^{-x} + o(e^{-x})$.

2. $x \to -\infty$

Ora $-x \to +\infty$, quindi $y = e^{-x} \to +\infty$. Lo stesso cambio di variabile dà

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sin(e^{-x})}{e^{-x}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{\sin y}{y} = 0$$

Qui il limite notevole non c'entra: $\sin y$ è limitata ($|\sin y| \le 1$) e $\frac1y \to 0$, quindi il prodotto $\frac1y \cdot \sin y$ tende a $0$ (infinitesima per limitata).

Verifica numerica. $x = 5$: $\approx 0{,}999992$; $x = 10$: $\approx 0{,}9999999997$. $x = -5$: $\approx -0{,}0046$; $x = -10$: $\approx -0{,}00003$ ✓.

Il principio generale

Se $f(x) \ne 0$ vicino a $x_0$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$, allora (cambio di variabile $y = f(x)$)

$$\lim_{x \to x_0} \frac{\sin f(x)}{f(x)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, \qquad \text{cioè } \sin f(x) \sim f(x) \text{ per } x \to x_0$$

e lo stesso vale per tutte le asintoticità che vengono dai limiti notevoli ($\log(1 + f) \sim f$, $e^f - 1 \sim f$, ...). Il punto $x_0$ può essere qualunque, anche $\pm\infty$: conta solo che l'argomento tenda a $0$.

Errori comuni

• Scrivere 1 anche per $x \to -\infty$ "perché è il limite notevole del seno": l'argomento va a $+\infty$, non a $0$.
• Usare il limite notevole con l'argomento sbagliato: in $\frac{\sin(e^{-x})}{x}$ il denominatore non è l'argomento del seno, e il limite notevole non si applica così com'è.