Esercizio 133integrali per parti di log x, arcsin x e arctan x

Testo (Lezione 39, esercizio 7 del foglio). Calcolare

$$\int \log x\,dx, \qquad \int \arcsin x\,dx, \qquad \int \arctan x\,dx$$

Nessuno dei tre è un integrale immediato, e non c'è una sostituzione evidente. Si usa l'integrazione per partiL'integrale di f·g' è f·g meno l'integrale di f'·g.Integrazione per parti → con il trucco "per $1$": $f$ = la funzione data (la sua derivata è semplice), $g' = 1$, $g = x$.

(a) $\int \log x\,dx$ (per $x > 0$)

$f = \log x$, $g' = 1$ $\Rightarrow$ $f' = \frac1x$, $g = x$: $$\int \log x \cdot 1\,dx = \log x \cdot x - \int \frac1x \cdot x\,dx = x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x + k = x(\log x - 1) + k$$

Controllo. $D[x\log x - x] = \log x + x \cdot \frac1x - 1 = \log x$ ✓.

(b) $\int \arcsin x\,dx$ (per $-1 < x < 1$)

$f = \arcsin x$, $g' = 1$ $\Rightarrow$ $f' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $g = x$: $$\int \arcsin x \cdot 1\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx$$

L'integrale rimasto si fa per sostituzione. La funzione interna è $1 - x^2$, con derivata $-2x$: al numeratore c'è $x$, manca la costante $-2$. Si moltiplica e divide per $-2$, e si pone $y = 1 - x^2$, $dy = -2x\,dx$: $$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\frac12\int \frac{-2x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\frac12\int y^{-1/2}\,dy = -\frac12 \cdot \frac{y^{1/2}}{1/2} + k = -\sqrt{y} + k = -\sqrt{1 - x^2} + k$$

Quindi $$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \left(-\sqrt{1 - x^2}\right) + k = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + k$$

Controllo. $D\left[x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2}\right] = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x$ ✓.

(c) $\int \arctan x\,dx$

$f = \arctan x$, $g' = 1$ $\Rightarrow$ $f' = \frac{1}{1 + x^2}$, $g = x$: $$\int \arctan x \cdot 1\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2}\,dx$$ L'integrale rimasto è del tipo $\frac{f'}{f}$ a meno della costante $2$ (la derivata di $1 + x^2$ è $2x$): $$\int \frac{x}{1 + x^2}\,dx = \frac12\int \frac{2x}{1 + x^2}\,dx = \frac12\log(1 + x^2) + k$$ (senza modulo, perché $1 + x^2 > 0$). Quindi $$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac12\log(1 + x^2) + k$$

Perché proprio questa scelta

Derivando, $\log x$, $\arcsin x$, $\arctan x$ diventano funzioni algebriche ($\frac1x$, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{1}{1+x^2}$), che moltiplicate per $g = x$ danno integrali facili. La scelta opposta ($f = 1$, $g' = \log x$) richiederebbe di conoscere già la primitiva di $\log x$, cioè proprio quello che si sta cercando.