Lezione 35Convergenza assoluta e criterio di Leibniz

Data: giovedì 27 novembre 2025 · Videolezione: n. 36 della playlist ("Lezione 35")

Argomenti trattati

1. Esercizi I (serie a termini $\ge 0$ definitivamente): esercizio 8 del foglio con il criterio della radice, esercizio 9 (esponenziali con parametro: confronto asintotico, oppure rapporto sull'asintotico).
2. Serie a termini di segno variabile (par. 1.3): perché i criteri delle serie positive non bastano (esempio $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ visto come aree con segno); convergenza assoluta e teorema "assoluta $\Rightarrow$ semplice" con dimostrazione; il viceversa è falso.
3. Criterio di Leibniz per le serie alternate; $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge per ogni $\alpha > 0$; controesempio senza decrescenza.
4. Esercizi II: esercizi 10, 11 e 12 del foglio (convergenza assoluta e semplice) e un esempio con Leibniz dove la decrescenza si dimostra con la derivata.
5. Dimostrazione del criterio di Leibniz (non in programma).

Teoria

• Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →

Esercizi

• Esercizio 116 · criterio della radice con 1 meno coseno — esercizio 8 del foglio
• Esercizio 117 · serie con esponenziali al variare di a — esercizio 9
• Esercizio 118 · convergenza assoluta con arcotangente e seno — esercizi 10 e 11
• Esercizio 119 · convergenza assoluta e semplice al variare di a — esercizio 12
• Esercizio 120 · criterio di Leibniz con l'arcotangente