Esercizio 143integrali con radici di x di indici diversi

Testo (Lezione 41, esercizio 23). Calcolare

$$(a) \ \int\frac{\sqrt x + 5}{x + 2\sqrt x}\,dx \qquad (b) \ \int\frac{\sqrt{x + 1} - 5}{x + 3}\,dx \qquad (c) \ \int\frac{\sqrt[3]x - 1}{\sqrt[6]x + \sqrt[3]x}\,dx$$

Metodo (vedi Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali →): si pone $y$ = la radice di indice uguale al minimo comune multiplo degli indici presenti; così tutte le radici diventano potenze intere di $y$ e l'integrale diventa razionale. Risultati verificati derivando con Python.

(a) Solo $\sqrt x$

$y = \sqrt x$, quindi $x = y^2$ e $dx = 2y\,dy$: $$\int\frac{y + 5}{y^2 + 2y}\cdot 2y\,dy = 2\int\frac{(y + 5)\,\cancel y}{\cancel y\,(y + 2)}\,dy = 2\int\frac{y + 5}{y + 2}\,dy$$ Grado del numeratore $=$ grado del denominatore: si fa comparire il denominatore, $y + 5 = (y + 2) + 3$: $$2\int\left[1 + \frac{3}{y + 2}\right] dy = 2y + 6\log|y + 2| + k = 2\sqrt x + 6\log(\sqrt x + 2) + k$$ (modulo inutile: $\sqrt x + 2 > 0$).

(b) Solo $\sqrt{x + 1}$

$y = \sqrt{x + 1}$, quindi $x + 1 = y^2$, $x = y^2 - 1$, $dx = 2y\,dy$, e $x + 3 = y^2 + 2$: $$\int\frac{y - 5}{y^2 + 2}\cdot 2y\,dy = 2\int\frac{y^2 - 5y}{y^2 + 2}\,dy$$ Si fa comparire il denominatore: $y^2 - 5y = (y^2 + 2) - 2 - 5y$, quindi $$2\int\left[1 - \frac{2 + 5y}{y^2 + 2}\right] dy = 2y - 4\int\frac{dy}{y^2 + 2} - 5\int\frac{2y}{y^2 + 2}\,dy$$

• $\int\frac{dy}{y^2 + (\sqrt2)^2} = \frac{1}{\sqrt2}\arctan\frac{y}{\sqrt2}$ (formula $\int\frac{dy}{y^2 + R^2} = \frac1R\arctan\frac yR$);
• $\int\frac{2y}{y^2 + 2}\,dy = \log(y^2 + 2)$ (tipo $\frac{f'}{f}$).

$$= 2y - \frac{4}{\sqrt2}\arctan\frac{y}{\sqrt2} - 5\log(y^2 + 2) + k = 2\sqrt{x + 1} - 2\sqrt2\arctan\sqrt{\frac{x + 1}{2}} - 5\log(x + 3) + k$$ (con $y^2 + 2 = x + 3$ e $\frac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2$).

(c) $\sqrt[3]x$ e $\sqrt[6]x$

$\text{mcm}\{3, 6\} = 6$: $y = \sqrt[6]x$, $x = y^6$, $dx = 6y^5\,dy$. Allora $\sqrt[3]x = x^{2/6} = y^2$ e $\sqrt[6]x = y$: $$\int\frac{y^2 - 1}{y + y^2}\cdot 6y^5\,dy = 6\int\frac{(y - 1)(y + 1)}{y\,(1 + y)}\,y^5\,dy = 6\int(y - 1)\,y^4\,dy$$ (si è scomposto $y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$, $y + y^2 = y(1 + y)$, e semplificato $y + 1$ e una $y$). $$6\int(y^5 - y^4)\,dy = 6\cdot\frac{y^6}{6} - 6\cdot\frac{y^5}{5} + k = y^6 - \frac65 y^5 + k = x - \frac65\sqrt[6]{x^5} + k$$

Errori comuni

• Dimenticare di trasformare $dx$: con $x = y^N$ è $dx = Ny^{N-1}\,dy$.
• Scegliere l'indice sbagliato: con $y = \sqrt[3]x$ in (c) resterebbe $\sqrt[6]x = \sqrt y$, ancora una radice.